湖南长沙明德中学2024~2025学年高一下册5月阶段检测数学试卷[附解析]

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则复数在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知是空间中的两条直线，则“”是“无公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 函数的图象如图所示，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则（ ）
A 1B. C. 2D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确是（ ）
A. 事件与为互斥事件B. 事件与为对立事件
C. 事件两两相互独立D.
10. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ）
A. B. 与所成的角为
C. 与平面所成的角为D. 到平面的距离为
11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列说法正确的有（ ）
A B.
C. 是奇函数D. 对任意的，存在唯一的，使．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小正周期是______．
13. 数据平均数，方差，若，则数据的平均数______，方差______．
14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
16. 为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
（2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．
17. 已知的内角的对边分别为，已知向量，且．
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长．
18. 已知，设、是函数的图象上任意两点，点满足，其中为坐标原点．
（1）求的零点；
（2）若，求值；
（3）若，求的最小值．
19. 如图1，一个透明塑料制成的长方体容器，若固定容器底面一个顶点于平面上，再将容器倾斜，使得顶点到平面的距离分别为，且在平面内的射影分别为．
（1）求证：，且四边形为平行四边形；
（2）若，
①求平面ABCD与平面所成二面角的余弦值；
②若往容器灌进一些水，使水面刚好过顶点，水面所在四边形为CEFG，求灌进水的体积．
附：二面角面积射影定理：设一个平面外的在平面内的射影为，的面积和的面积分别为和，如图3．若所在平面和平面所成的二面角为，则．