长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期5月阶段检测数学试题及参考答案

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.已知集合，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】根据的集合，然后求出.
【详解】由，则，再由，则.故选：D.
2.已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限；故选：B
3.已知是空间中的两条直线，则“”是“无公共点”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】利用异面和平行直线的概念结合充分必要条件判断．
【详解】则无公共点，故充分性成立，
无公共点可推得或是异面直线，故必要性不成立；
所以“”是“无公共点”的充分不必要条件，故选：A．
4.一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ）
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】【分析】根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可.
【详解】由题意得，女运动员被抽取的人数为.故选：B
5.函数的图象如图所示，则（ ）
A.1B.C.2D.
【答案】C
【解析】【分析】根据图像可确定函数定义域，得到的值，又图像过代入可求，得到函数的解析式即可求.
【详解】由图可知函数的定义域为，又定义域为，所以，图像过，，所以，则，故选：C.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】将已知条件同时平方，再根据，化简得，进而求得，根据得，，则，最后利用二倍角余弦公式求解即可.
【详解】已知，两边同时平方得，
即，所以，
所以，
又，，由得，所以，
所以，所以.故选：B.
7.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可.
【详解】因为，所以1个感染者传染人数为，又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，即该地疫苗的接种率至少为，故选：D.
8.如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则（ ）
A.1B.C.2D.
【答案】C
【解析】【分析】由题知分别是，中点，则，再利用余弦定理可求得到.【详解】根据题意分别是，的中点，
所以，故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.事件与为互斥事件B.事件与为对立事件
C.事件两两相互独立D.
【答案】BC
【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据对立事件的定义判断B；根据独立事件的定义判断C；选项D需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积.
【详解】因为，即件与能同时发生，不是互斥事件，A错；因为且，即事件与不能同时发生且必有一个发生，事件与为对立事件，B正确；
，， ，故独立；
，，，故独立；
；，故独立,
综上事件两两相互独立，C正确；
选项D：，故,,，选项D错误.故选：BC.
10.已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ）
A.B.与所成角为
C.与平面所成的角为D.到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】【分析】连接，由平面，可判断A，由，得为与所成的角，可判断，连接角与点，连接，得平面，得到即为与平面所成的角，可判断C，由等体积可判断D.
【详解】连接，则，在正方体中平面，在平面内，所以，又为平面内两条相交直线，所以平面，在平面内，所以，A正确，
因为，所以为与所成的角，又易知等边三角形，所以，
所以与所成的角为，故B正确,连接角与点，连接，
，又平面，在平面内，所以，又为平面两条相交直线，所以平面，所以即为与平面所成的角，
由,所以，C错，
，又，
设到平面的距离为，由，所以，D正确，故选：ABD
11.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.对任意的，存在唯一的，使．
【答案】ACD
【解析】【分析】根据函数新定义利用指数的运算性质判断A，B；结合函数新定义根据奇偶性定义判断C，先根据函数定义得，然后结合指数函数性质判断单调性并求出值域即可判断D.
【详解】对于A，，正确；
对于B，
，错误；
对于C，的定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，正确；
对于D，，
由在上单调递增及单调性的性质可知，在上单调递增，
因为，所以，所以，即函数的值域为，
所以对任意的，存在唯一的，使，正确.故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.函数的最小正周期是______．
【答案】
【解析】【分析】利用弦切互化公式和二倍角角公式将三角函数解析式化简，再利用三角函数的周期公式求解即可．
【详解】，
因此函数的最小正周期为.故答案为：．
13.数据的平均数，方差，若，则数据的平均数______，方差______．
【答案】 ①.25 ②.80
【解析】【分析】根据平均数、方差的性质求解即可．
【详解】由题意数据的平均数为，方差为，
根据平均数和方差性质可得数据的平均数，
方差.故答案为：25；80
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______．
【答案】
【解析】【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
【详解】
由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为．
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，结合，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.
【小问1详解】取的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别是、的中点，所以，且，
又三棱柱中，，，
而为棱的中点，所以，且，
所以，，所以四边形为平行四边形，因此．
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，为的中点，所以．
又，、平面，所以平面．
由（1）知，，所以平面．
又平面，所以平面平面
16.为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
（2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．
【答案】（1）答案见解析，中位数为6.4，平均数为6.2. （2）0.51．
【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，可求出这一组的频率，进而求出矩形的“高度”，补全频率分布直方图，再根据中位数和平均数的概念，用评率分布直方图估计中位数和平均数.
（2）利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解.
【小问1详解】第五组的频率为，
所以该组对应的小矩形高度为，故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为，平均数为.
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
故估计样本中位数为6.4.
故估计样本平均数为6.2.由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2．
【小问2详解】由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为.记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立.
利用频率估计概率，．
记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”，
则
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51．
17.已知△ABC的内角的对边分别为，已知向量，且．
（1）求；
（2）若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标运算得，然后根据正弦定理及弦切互化化简得，即可求解.
（2）法一：根据三角形面积公式和数量积的定义化简得，根据同角三角函数基本关系求出，从而利用两角和的正弦公式求出，进而由正弦定理得，结合求出，再根据余弦定理求解即可得解；
法二：根据三角形面积公式得，结合求出，根据同角三角函数基本关系求出，从而利用两角和的正弦公式求出，由正弦定理及△ABC的面积列式求得，最后由求解即可.
【小问1详解】由，且知，，
由正弦定理得，，因为，所以．
则，即，又，所以．
【小问2详解】法一：因为△ABC的面积为，得，
又，因此．又，所以．
从而
所以．
又由得，，因此．
由余弦定理得，，所以．
所以△ABC的周长为．
法二：因为△ABC的面积为，得．
又．所以，又，所以．
又，所以．
从而，
设△ABC的外接圆半径为，由正弦定理，
得，
所以，△ABC的面积．
又，所以．
所以△ABC的周长为．
18.已知，设、是函数的图象上任意两点，点满足，其中为坐标原点．
（1）求的零点；（2）若，求值；（3）若，求的最小值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】（1）解方程，即可得出函数的零点；
（2）由平面向量的坐标运算得出，可得出，结合对数运算可求得的值；
（3）求出函数的定义域，可求出的取值范围，由结合对数运算、基本不等式可求出的最小值.
【小问1详解】令得，解得．所以的零点为．
【小问2详解】由，可得，即，
.
【小问3详解】由得，所以的定义域为．
由，得．
，，
当且仅当即时，等号成立．所以的最小值为.
19.如图1，一个透明塑料制成的长方体容器，若固定容器底面一个顶点于平面上，再将容器倾斜，使得顶点到平面的距离分别为，且在平面内的射影分别为．
（1）求证：，且四边形为平行四边形；
（2）若，
①求平面ABCD与平面所成二面角的余弦值；
②若往容器灌进一些水，使水面刚好过顶点，水面所在四边形为CEFG，求灌进水的体积．
附：二面角面积射影定理：设一个平面外的在平面内的射影为，的面积和的面积分别为和，如图3．若所在平面和平面所成的二面角为，则．
【答案】（1）证明见解析 （2）①；②
【解析】【分析】（1）先根据线面垂直性质得到线线平行，再利用中点得出中位线关系，进而得到距离关系，又由中位线性质得到线段相等，从而证明四边形是平行四边形.
（2）①先根据已知垂直关系和边长求出，用余弦定理求，再得，算出平行四边形面积与四边形面积，最后用面积射影定理求平面与平面所成角的余弦值.
②由线面垂直和二面角关系得，求出，根据平行关系确定到平面距离，进而求出，利用（1）结论找到体积关系，算出灌进水的体积.
【小问1详解】由题意，，则．
设在平面的射影为，即，
由线面平行性质定理，得，
又分别为的中点，所以既是的中位线，也是梯形的中位线．
所以，即．
由是的中位线，得．
由是梯形的中位线，得.
所以，四边形为平行四边形．
【小问2详解】因为，由（1）知，，即．
①由，得，由，得．
又，得.
所以由余弦定理，得，所以．
设平行四边形的面积为，因此
又四边形ABCD的面积．
设平面ABCD与平面所成的角为，则根据二面角的面积射影定理，得．
所以平面ABCD与平面所成的角的余弦值为．
②设长方体侧棱与平面所成的角为．
因为平面ABCD，又平面与平面ABCD所成角为，所以．
由①得，．所以．
因为水面所在四边形平面，所以到平面的距离等于到平面的距离4．
由，得．
过作平面的平行平面，交分别于．
由（1）结论，.
所以，几何体与几何体的体积相等．
因此，容器中灌进水的体积为．
所以灌进水的体积为