苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义暑假作业08反比例函数的图象与性质(知识梳理+10大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业08 反比例函数的图象与性质
知识点01 反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
知识点02 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.
由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点03 反比例函数的图象和性质
1）反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
2）反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质：当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
知识点04 应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1）反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题；2）列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
题型一 反比例函数的定义
1．已知是反比例函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即或，只需令且即可求解．
【详解】解：由题意得：且；
解得，
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：函数的图象经过点和，
，
解得，
故答案为：．
3．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式．
【答案】
【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：设，
则：，
由题意，得：，解得：，
∴．
题型二 判断反比例函数图象
1．函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答．
【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合；
当时，，
∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合．
故选：．
2．考察函数的图象，当时，的取值范围是 ．
【答案】或/或
【分析】作出和的函数图象，通过观察得出直线上方的反比例函数图象均符合题意，解出交点坐标，最终确定的取值范围，本题考查了画反比例函数的图象，一次函数与反比例函数的综合判断，解题的关键是：应用数形结合的方法，理解函数图象与自变量取值范围之间的关系．
【详解】解：画函数和的图象如下：
由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即，
第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，
联立两函数解析式：
解得：
即，
故答案为：或．
3．已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法：
（1）将，代入解析式求解．
（2）根据函数解析式及表格作图．
【详解】（1）解：把，代入得，，
解得；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为，
∴当时，，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
1．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
2．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是，
故答案为：．
3．如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．

【答案】
【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标．
【详解】解：把点代入得：，
∴，
∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点，
∴点和点关于原点对称，
∴．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键．
题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围
1．若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
2．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据的k值小于0，反比例函数在第二、四象限，据此即可作答．
【详解】解∶∵反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为： ．
3．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
∴的取值范围为；
（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
题型五 已知反比例函数的增减性求参数
1．已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围．
【详解】解：，且，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，
，
，
故选：B．
2．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解答此题的关键．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
【详解】解：反比例函数，当时，随着的增大而增大，
∴，
，
可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
3．已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例的性质，
根据反比例函数得性质得，求解不等式即可；
将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式．
【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴，
解得；
（2）∵点在反比例函数图象上，
∴，
则，
故反比例函数解析式为．
题型六 比较反比例函数值或自变量的大小
1．已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（ ）
A．0B．负数C．正数D．非负数
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵
∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴或，
假设且，则，
∴，，
∴，
同理：当且时，，
∴的值为负数．
故选：B．
2．点 A 、B在反比例函数 的图像上， 则 （用“”或“=”填空）．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小成为解题的关键．
根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为．
3．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
(1)求的取值范围．
(2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键；
（1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可；
（2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案．
【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限，
，解得，
的取值范围是．
（2），
，，
反比例函数的图象经过，两点，且，
，
解得，
∴的取值范围是．
题型七 根据图形面积求比例系数
1．如图，点在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线、，若矩形的面积为6，则k的值为（ ）
A．12B．C．6D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何定义，理解反比例函数解析式k的几何定义是解题关键．根据题意，由反比例函数解析式的k几何定义得，即可得出k的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴，轴，
∴，
∴，
故选：C．
2．如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点A在x轴上，点F在上，点E在反比例函数的图象上，若，则k值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键．设正方形、的边长分别为a，b，则可表示出，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可．
【详解】解：设正方形、的边长分别为a，b，
则，，，
∵点E与点D的纵坐标相同，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1．
(1)求m和k的值；
(2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质．
（1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值；
（2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：，
，，
，
；
点的坐标为，
把代入，
解得；
（2）解：当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
题型八 求反比例函数解析式
1．如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，若点A的坐标是，点C的坐标是，则k的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数以及矩形的性质，能根据已知条件确定点B的坐标为，再代入反比例函数的表达式进行运算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵点A的坐标是，点C的坐标是，且点位于第二象限
∴点B的坐标为
则把代入
∴．
故选D．
2．在平面直角坐标系中，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，反比例函数的综合，掌握旋转的性质，根据反比例解析式求参数的计算方法是解题的关键．
根据旋转的性质可求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数即可求出参数的值．
【详解】解：∵点绕点O逆时针旋转得到点，
∴，
∵点恰好在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：．
3．在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数图象的表达式为，直线的表达式为
(2)5
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）首先将点的横坐标代入 求出点的坐标，然后代入求出 然后将点的纵坐标代入，求出，然后代入，即可求出；
（2）先求出直线与轴的交点坐标，得到，利用代入数据计算即可．
【详解】（1）解：点的横坐标是2，
将代入，
，
将代入得：，
反比例函数图象的表达式为，
点的纵坐标是，
将代入得，，
．
将代入得：，
解得：．
．
直线的表达式为．
（2）解：如图：
在函数中，令，则，
，
，
．
题型九 一次函数与反比例函数的交点问题
1．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值．
【详解】解：∵，
∴P点的纵坐标为2，
把代入得，
所以P点坐标为，
把代入得，
解得．
故k的值为．
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象交于A，B两点．当 时， 自变量x的取值范围是 ．

【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意数形结合思想的运用．根据一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，可得自变量的取值范围．
【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，
根据图象可得，当 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
自变量的取值范围是或．
故答案为：或
3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式和的面积；
(2)由函数图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为．；
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
（1）先把点A，点B的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，再求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算；
（3）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点和点，
∴，解得，
∴点和点，
把，代入，得
，解得：，
∴一次函数的解析式为．
如图，设直线交x轴于点C，
在中，令，则，
即直线与x轴交于点．
∴；
（2）解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或．
题型十 用反比例函数解决问题
1．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间的关系如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．的值为2.5B．与之间的函数表达式为
C．当时，D．随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压÷电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流=电压÷电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案．
【详解】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴，
∴，
故A不合题意；
∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
则，把代入得：
故，
即，
故B不合题意；
∵，
∴I随R的增大而减小，故D不合题意；
∴当时，，故C符合题意．
故选：C．
2．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据函数解析式可得路程，进而根据路程除以速度，即可求解．
【详解】解：设平均速度与行驶时间的关系式为，将代入得，，
∵小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，
∴他们通过此测速区间的时间为，
故答案为：．
3．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值；
(2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，求出a的值即可；
（2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，将代入得：
，
，
将代入得：，
；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
．
，
这种摆放方式不安全．
1．已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值．
【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
∴当时，，
∵，
∴，即，
∴当时，y的值可以是．
故选：D．
2．已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围．
【详解】解：，且，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，
，
，
故选：B．
3．已知反比例函数和一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，根据反比例函数和一次函数的图象，判断出，，得出函数的图象，随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴，选择符合的选项即可，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，
∴函数的图象，随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：D．
4．已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据表格中的数据可知，两个变量的积一定，说明这个函数为反比例函数，然后用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，
∴设函数的解析式为，
把，代入得，，
∴该函数的解析式为：，
故选：B．
5．面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∵反比例函数的图象经过点B，，
∴，
故选：B．
6．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表：
若，则m n．（填“”“”或“＝”）
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的变化性质判断即可．
【详解】解：，，
每个象限内，随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
7．如图，边长为4的正方形的顶点、在轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过顶点和边上的中点，则的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，正方形的性质．根据题意，设，则，由反比例函数系数，即可得到，解得，从而求得．
【详解】解：根据题意，设，则，
反比例函数在第一象限的图象经过顶点和边上的中点，
，
解得，
．
故答案为：16．
8．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流.
【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
∴该反比函数解析式为，
当 时，.
故答案为：2．
9．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，
，，
，
由反比例函数值的几何意义可知：
，
设，则，
，
，
解得：．
故答案为：．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过，两点．若的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据条件和值的几何意义得到，代入坐标整理得到，依据，转化为，可求出，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果．
【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为、，
∵
根据反比例函数k值的几何意义可得：
，
，
整理得：，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
11．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例，
，，
，当时，，当时，．
，
，，
；
（2）解：当，．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集．
（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足，
∴不等式的解集为或．
13．如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点．
(1)求的值及点的坐标；
(2)判断点是否为边的中点，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)点D不是边的中点，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
（1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可；
（2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
根据平移性质可得点B的坐标为．
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，
，，
线段的中点坐标为，
在反比例函数中，当时，，
点不是边的中点
14．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件
(2)4月份该产品销售单价的范围是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论；
（2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为．
令，则，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为元件，则，
解得，
答：该产品的生产成本为38元件；
（2）解：3月份利润为：元．
由题意得4月份成本为元件，
则，
解得，
月份该产品销售单价的范围是．
15．如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，，求该函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．
（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．
【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且
∴，，
则
则，
∵
∴
（2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上
∴
∵，，
∴
整理得，
∴
解得，（舍去）
经检验：是原分式方程的解，
∴．
∴
1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．
【详解】解：函数自变量的取值范围为．
对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意；
对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除．
2．（2022·江苏南京·中考真题）反比例函数（为常数，）的图像位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
【答案】A
【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答．
【详解】解：∵且，
∴，
∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=×3×2+×3×
=．
故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
4．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）点、在反比例函数的图象上，则 （用“＜”、“＞”或“＝”填空）．
【答案】＞
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得与的大小．
【详解】解：反比例函数中，，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为＞．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小．
6．（2023·江苏南通·中考真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

【答案】2500
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，
将代入，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
7．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．

【答案】4
【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．
【详解】解：∵轴于点轴于点，
∴点P的横纵坐标相同，
∴可设点P的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．
8．（2022·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是 ．
【答案】
【分析】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可．
【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则，
∵点恰好在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是 ．
【答案】（2，3）
【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），
∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．
【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
10．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若的面积是6，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点，点E是一次函数与y轴的交点，求出，则，再由，得到，问题随之得解．
【详解】（1）解：点在比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∵点，点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，所示：

根据题意：设点，
∵点E是一次函数与y轴的交点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
11．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．
(1)求、的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)4；6
(2)6
【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象轴交于点，
∴，OB=4，
∴一次函数解析式为，
设点C（m，n），
∵的面积是2．
∴，解得：m=1，
∵点C在一次函数图象上，
∴，
∴点C（1，6），
把点C（1，6）代入得：k=6；
（2）当y=0时，，解得：x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
12．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6
(2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
13．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
【详解】（1）将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
（2）设一次函数的图像与轴交点为，
将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
5
4
2
1
0.5
0.25
20
25
30
40
50
100
200
400
桌面所受压强
200
400
500
800
1000
受力面积
x
1
2
3
y
3
9
x
…
1
2
…
y
…
a
b
m
n
…
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成．
信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．