苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第17讲重难点04“垂径定理”模型(学生版+解析)

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1.识别几何模型。
2.利用“垂径定理”模型解决问题
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理中的五个元素:
过圆心;2垂直弦3平分弦(不是直径);4平分优;平分劣弧
这五个元素，知二推三
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•南京期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
2．（2022秋•南通期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长是（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】由垂径定理求出CE的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝＝，
∵圆的半径CO长是×10＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
3．（2022秋•盱眙县期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（ ）
A．2B．2.5C．4D．5
【分析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，再利用勾股定理可得NF，进而可得EF的长．
【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
4．（2022秋•邗江区校级期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是 20 ．
【分析】由垂径定理，勾股定理，即可求解．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r，
∵OD⊥AB，
∴AE＝BE＝8，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴CD＝2r＝20，
故答案为：20．
【点评】.本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于⊙O的半径的方程．
5．（2023春•大丰区月考）如图，⊙O的弦AB＝8，过点O作OP⊥AB于点C，交⊙O于点P，若OC：CP＝3：2，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】令OC＝3x，PC＝2x，由垂径定理，勾股定理得到关于x的方程，求出x，即可得到圆的半径长．
【解答】解：连接OC，
∵OC：CP＝3：2，
∴令OC＝3x，PC＝2x，
∴OA＝5x，
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC＝4，
∵OA2＝AC2+OC2，
∴（5x）2＝42+（3x）2，
∴x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴OA＝5x＝5，
∴⊙O的半径是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是令OC＝3x，PC＝2x，由垂径定理，勾股定理列出关于x的方程，求出x的值．
6．（2022秋•江都区月考）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点D出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为 π ．
【分析】连接AC，AG，由题意可得F点在以AC为直径的圆上，则F点的路径长是以AC为直径的圆的周长的一半．
【解答】解：连接AC，AG，
∵AF⊥CF，
∴F点在以AC为直径的圆上，
∵G（0，1），圆G半径为2，
∴C（0，3），D（0，﹣1），
∴GO＝DO＝1，
在Rt△AOG中，AO＝，
∴AC＝2，
∵E点从D点到C点，
∴F点从A点到C点，
∴F点运动的路径长为π，
故答案为：π．
【点评】本题考查点的运动轨迹，根据直径所对的圆周角是90°，从而确定F点的运动轨迹是解题的关键．
7．（2023•常州模拟）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，6），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．若矩形ABCD的“等距圆”⊙P始终在矩形内部（含边界），则⊙P的半径r的取值范围是 0＜r≤ ．
​
【分析】先确定最大圆的位置，再根据垂径定理列方程求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，6），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．
∴它的中心E点坐标为（0，3），如图，
∴经过点E且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点E且和AD，CD相切的圆P，
设切点分别为G，H，如图，
连接PG，PH，PE，过点P作PF⊥y轴于点F，设⊙P的半径为r，
则PG＝PH＝PE＝r，PF＝4﹣r，EF＝3﹣r，
在Rt△PEF中，
∵PE2＝EF2+PF2，
∴r2＝（3﹣r）2+（4﹣r）2，
解得r1＝，r2＝，
由题意，r＜3，而＞3，
∴r2＝应舍去，
故答案为：0＜r≤．
【点评】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是确定出最大圆的位置，利用垂径定理和勾股定理解答．
8．（2022秋•秦淮区期末）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为 ．
【分析】由垂径定理得到CH＝DH，由勾股定理列出关于CH的方程，求出CH长，即可求出CD的长．
【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OC，OA，设CH＝x，
∴CH＝DH，AH＝x+3，
∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，
∴x＝，
∴CD＝2CH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是掌握垂径定理，勾股定理．
9．（2022秋•邗江区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC、BD交于点P，∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，⊙O的半径为1，当5≤AC2+BD2≤6时，则OP的取值范围 ≤OP≤ ．
【分析】作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，连接OA，OD，应用勾股定理，垂径定理，由5≤AC2+BD2≤6，求出OP2的范围，即可解决问题．
【解答】解：作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴AM＝AC，DN＝BD，
∵∠BAC＝∠CDP，∠CAD＝∠CBP，
又∵∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，
∴∠CDP+∠ACD＝∠CBP+∠ACB，
∴∠BPC＝∠DPC，
∴∠BPC+∠DPC＝180°，
∴∠BPC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形OMPN是矩形，
∴OM＝PN，
∵ON2＝OD2﹣DN2＝1﹣BD2，
PN2＝OM2＝OA2﹣AM2＝1﹣AC2，
∴ON2+PN2＝2﹣（BD2+AC2），
∴OP2＝2﹣（BD2+AC2），
∵5≤AC2+BD2≤6，
∴≤OP2≤，
∴≤OP≤．
故答案为：≤OP≤．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理的推论，关键是作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，连接OA，OD，构造直角三角形．
三．解答题（共8小题）
10．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若AB＝10，DE＝2，求CD的长．
【分析】连接OA，由垂径定理，勾股定理列出关于半径的方程，即可求解．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r，
∵CD⊥AB，
∴AE＝AB＝5，
∵AO2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣2）2+52，
∴r＝，
∴CD＝2r＝．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是连接OA，构造直角三角形．
11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
12．（2022秋•大丰区期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半径长；
【分析】（1）根据垂径定理可得＝，从而可得∠AOD＝∠BOD＝50°，即可解答；
（2）根据垂径定理可得AE＝AB＝，然后设⊙O的半径长为r，再在Rt△AOE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝50°，
∴∠DOB的度数是50°；
（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AE＝AB＝，
设⊙O的半径长为r，
在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+（）2，
∴r＝3，
∴⊙O的半径长为3．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13．（2022秋•梁溪区校级期中）关于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“顾神方程”： 6x2+10x+8＝0（答案不唯一） ；
（2）求证：关于x的“顾神方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程ax2+6x+b＝0是“顾神方程”，请直接写出∠BAC的度数．
【分析】（1）由“顾神方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”；
（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；
（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．
【解答】（1）解：写出一个“顾神方程”：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一），
故答案为：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一）；
（2）证明：∵关于x的方程ax2+cx+b＝0是“顾神方程”，
∴a2+b2＝c2且c≠0，
①当a≠0时，
Δ＝（c）2﹣4ab，
＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab，
＝2（a2+b2﹣2ab），
＝2（a﹣b）2≥0，
∴方程有两个实数根，
②当a＝0时，
方程为cx+b＝0，c≠0，
∴该方程有实数根，
∴“顾神方程”必有实数根；
（3）解：∠BAC＝45°，理由如下：
作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，
∵DC∥AB，
∴EF⊥CD，
∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，
∵BE2+OE2＝OB2，
∴a2+OE2＝62，
∵ax2+6x+b＝0是“顾神方程，
∴a2+b2＝62，
∴OE＝b＝CF，
∵OB＝OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），
∴∠FOC＝∠OBE，
∵∠OBE+∠EOB＝90°，
∴∠FOC+EOB＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴∠A＝∠BOC＝45°．
【点评】本题考查“顾神方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“顾神方程”的定义．
14．（2022秋•启东市校级月考）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得半径．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
【点评】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键．
15．（2022秋•盐都区期中）请仅用无刻度的直尺作图．
（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且＝．画出△ABC中∠BAC的平分线；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．画出△ABC中∠BAC的平分线；
（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，E是弦AB上一点，且DE∥AC，请画出△ABC的内心I．
【分析】（1）连接AP，根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可知AP是∠BAC的平分线；
（2）连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，根据垂径定理可得＝，再由同弧或等弧所对的圆周角相等即可知AE是∠BAC的平分线；
（3）连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点J，由（2）可知CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，即J点即为所求点．
【解答】解：（1）连接AP，
∵＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴AP是∠BAC的角平分线；
（2）连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分线；
（3）连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点J，
∵D是BC的中点，DE∥AC，
∴E是AB的中点，
由（2）可知，CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，
∴J点是△ABC的内心．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内心的定义是解题的关键．
16．（2022秋•江阴市期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．
（1）如图1，当时，以AB为直径的⊙G交CD于M、N两点，求此时MN的长；
（2）如图2，若⊙O经过A、B两点，且与CD相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．
【分析】（1）过点G作GE⊥MN于点E，连接GM，利用矩形的性质，勾股定理和垂径定理解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点O在矩形ABCD内部时，过点O作OE⊥CD，反向延长EO交AB于点F，利用切线的性质定理和勾股定理求得m的最大值；②当点O在矩形ABCD外部时，设⊙O与CD切于点E，连接OE交AB于点F，利用切线的性质结合图形求得m＞0，综上即可得出结论．
【解答】解：（1）过点G作GE⊥MN于点E，连接GM，如图，
则ME＝NE＝MN，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵GE⊥MN，
∴四边形DAGE为矩形，
∴GE＝AD＝BC＝，
∵AB为⊙G的直径，
∴GM＝AB＝3，
∴EM＝＝＝，
∴MN＝2FM＝2；
（2）①当点O在矩形ABCD内部时，过点O作OE⊥CD，反向延长EO交AB于点F，如图，
∵⊙O经过A、B两点，且与CD相切，
∴OE＝⊙O的半径，AF＝BF＝AB＝3．
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∴，
∴m的最大值＝OE+OF＝＝4；
②当点O在矩形ABCD外部时，设⊙O与CD切于点E，连接OE交AB于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴EF＝AD＝BC＝m，
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∵OE⊥CD，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴AF＝AB＝3．
∴，
∴m的最小值＝OE﹣OF＝＝；
综上，m的取值范围为≤m≤4．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，垂径定理，矩形的性质，勾股定理，利用垂径定理添加恰当的辅助线是解题的关键．
一．选择题（共7小题）
1．（2023•冀州区校级模拟）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：①分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据尺规作图得出OM是AB的垂线，然后根据垂径定理求出BN的长，再根据勾股定理求出ON的长，从而求出∠B的正切值．
【解答】解：由作图可知OM⊥AB，
由垂径定理得：，
在Rt△ONB中，由勾股定理得：，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟知垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．（2023•梁园区校级四模）如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】连接AB、连接OC'，根据等腰直角三角形的性质求出OD，进而得到C′D的长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AB，OC'，AC'，BC'，
要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点C′时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB于D，
∴OD＝AB＝＝，
∴DC'＝OC'﹣OD＝1﹣，
∴S四边形AOBC′＝S△AOB+S△ABC′＝×1×1+××（1﹣）＝，
∵扇形AOB的面积＝＝，
∴阴影部分面积的最小值＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3．（2023•仁怀市模拟）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【分析】连接OA，设OA＝r（cm），根据CD的长计算出OD的长，根据点D为弦AB的中点，O为圆心得到OD⊥AB，从而求出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值，即可求出OD的长．
【解答】解：连接OA，
设OA＝r（cm），
则OC＝OA＝r（cm），
∵点D为弦AB的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，
∵AB＝8（cm），
∴AD＝BD＝4（cm），
∵CD＝6（cm），
∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（6﹣r）2+42，
解得，
∴（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
4．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣3C．D．
【分析】连接OD，可得△OBD为等边三角形，再求出∠COD以及OC，得到三角形BOC的面积，又因为△BOC与△BDC面积相等，最后利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC求解即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接OD，
根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DBO＝60°．
∵∠CBO＝∠DBO＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝OB•tan∠CBO＝3×＝，
∴S△BOC＝OB•OC＝，
∵△BOC与△BDC面积相等，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC
＝π×32﹣﹣＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．
5．（2023•玉州区一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝6，AB＝16，则FC的长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由OE⊥AB，得AD＝BD，且OD为△ABC的中位线，再推出OE是△ACF的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴，
∵OA＝OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
又∵OD＝6，
∴，
∴OE＝OA＝10，
∵OE∥FC，点O是AC中点，
∴AE：EF＝AO：OC＝1，
即E为AF中点，
∴OE是△ACF的中位线，
∴CF＝2OE＝2×10＝20，
故选：D．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
6．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．4πC．D．
【分析】如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，可得∠OCH＝30°，∠AOC＝120°，结合图形可求出扇形OAC的面积，△OAC的面积，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，则点H是CD的中点，
∵直线AB与⊙O相切于点A，CD∥AB，
∴A，O，H在同一条直线上，且AB∥EF∥CD，
∴，
在Rt△COH中，CO＝2，
∴，
∴∠OCH＝30°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠HCO＝∠COF＝30°，∠FOA＝∠OAB＝90°，
∴∠AOC＝120°，
∴，，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．
7．（2023•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再证EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可．
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中点，
∴，
∴EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2023•安徽模拟）如图，AE是⊙O的直径，点C、点B在⊙O上，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AD＝2，AB＝4，AE垂直于BC，CD垂直于AB，则CD＝ ．
​
【分析】根据AE垂直于BC，得出AC＝AB＝4，在Rt△CDA中，利用勾股定理CD＝代入数据解答即可．
【解答】解：如图，
∵AE垂直于BC，
∴AC＝AB＝4，
∵CD垂直于AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△CDA中，
CD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查了垂径定理、勾股定理，正确得出AC＝AB是解题的关键．
9．（2023•杭州一模）如图是以点O为圆心的圆形纸片，AB是⊙O的弦，将该圆形纸片沿直线AB折叠，劣弧恰好经过圆心O．若AB＝6，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，OB，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理求得AO，∠AOB＝120°，根据阴影部分面积等比空白弓形部分面积，即S扇形OAB﹣S△OAB，即可求解．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，OB，
根据折叠的性质可知OA＝2OD，
∴，
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝6，
∴，
∴，则，
∴阴影部分面积＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、垂径定理以及翻折变换（折叠问题），掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．（2022秋•香坊区期末）如图，在⊙O中，AB是圆O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，且点E是OB的中点，CD＝6，则⊙O的半径为 2 ．
【分析】连接OC，设圆的半径是r，由垂径定理，勾股定理列出关于r的方程，求出r即可．
【解答】解：连接OC，设圆的半径是r，
∵E是CD的中点，
∴OE＝r，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×6＝3，
∵OC2﹣OE2＝CE2，
∴r2﹣＝32，
∴r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是掌握垂径定理，勾股定理．
11．（2023•昌邑市校级二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点O在AB上，⊙O的半径为3，AC＝2，若点D是圆上的动点，则点D到BC距离的最大值为 4 ．
【分析】过点O作OM⊥BC，垂足为M，延长MO交⊙O于点D，此时点D到BC距离最大，且点D到BC的距离最大值＝DM，根据垂径定理可得CM＝BM，从而可得OM是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理求出OM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OM⊥BC，垂足为M，延长MO交⊙O于点D，此时点D到BC距离最大，且点D到BC的距离最大值＝DM，
∴CM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM＝AC＝1，
∵OD＝3，
∴DM＝OD+OM＝4，
∴点D到BC距离的最大值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2023•岳阳县一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 2 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝ ．
【分析】（1）作OH⊥MN于H，得到HN＝MH，由AP＝2，BP＝6，得到圆的半径长，由△POH是等腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长．
（2）由PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，得到PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），因此OH2+NH2＝ON2＝OA2，得到PM2+PN2＝2OA2，即可解决问题．
【解答】解：（1）作OH⊥MN于H，
∴HN＝MH，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝AP+PB＝8，
∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴OH＝PO＝，
∴NH＝＝，
∴MN＝2NH＝2．
故答案为：2．
（2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH，
∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，
∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），
∵OH2+NH2＝ON2＝OA2，
∴PM2+PN2＝2OA2，
∵BA2＝（2OA）2＝4OA2，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．
三．解答题（共8小题）
13．（2022秋•临平区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由垂径定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性质得到AF＝BF，从而证明AC＝BD；
（2）设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
14．（2022秋•白云区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．
【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可证明问题．
【解答】解：CE＝AF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴CE＝CD，
∵OF⊥AB，
∴AF＝，
∵AB＝CD，
∴CE＝AF．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
15．（2022秋•中山区期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长．
【分析】作OH⊥AB于H，应用垂径定理，即可求解．
【解答】解：作OH⊥AB于H，
∴AH＝BH，CH＝DH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴BD＝AC＝2．
【点评】本题考查垂径定理，关键是作OH⊥AB于H，应用垂径定理，得到AH＝BH，CH＝DH．
16．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
【分析】设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算．
【解答】解：设⊙O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OD＝，
∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是应用勾股定理求出圆的半径长．
17．（2022秋•兰山区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠ODB＝∠OBD，再利用平行线的性质可得∠ODB＝∠CBD，然后利用等量代换可得∠CBD＝∠OBD，即可解答；
（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据垂径定理可得BF＝3，再根据垂直定义可得∠DEO＝∠OFB＝90°，然后利用平行线的性质可得∠DOE＝∠FBO，从而利用AAS证明△DEO≌△OFB，进而可得OE＝BF＝3，最后在Rt△DEO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BC∥OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠OBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∴∠OFB＝90°，BF＝CF＝BC＝3，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠OFB＝90°，
∵BC∥OD，
∴∠DOE＝∠FBO，
∵OD＝OB，
∴△DEO≌△OFB（AAS），
∴OE＝BF＝3，
∵DE＝4，
∴OD＝＝＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（2023•前郭县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥BC于E，∠D＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝CD＝2，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠DEC＝90°，从而可得∠D+∠DCE＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠OCB，从而可得∠D＝∠OCB，然后利用等量代换可得∠OCB+∠DCE＝90°，从而可得∠OCD＝90°，即可解答；
（2）根据已知可得OC＝AB＝1，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理求出OD的长，再利用面积法求出CE的长，最后根据垂径定理可得BC＝2CE＝，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠OCB，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝CD＝2，
∴OC＝AB＝1，
在Rt△OCD中，OD＝＝＝，
∵，
∴OC•CD＝OD•CE，
∴，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝，
∴BC的长为．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2023•青岛三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OC，OB，OC交AB于点F，利用（1）的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAB．
∵∠B＝∠D，
∴∠DAB＝∠D．
∵∠D＝∠E，
∴∠DAB＝∠E，
∴AB∥EC．
∵＝，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由（1）知：AB∥EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC＝AE＝5，AB＝EC＝8．
∵OC⊥AB，
∴AF＝BF＝AB＝4．
∴FC＝＝3．
设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3，
∵OF2+BF2＝OB2，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
解得：r＝．
∴⊙O半径的长为．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20．（2022秋•自贡期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r＜PP'≤2r，则称P'为点P关于⊙C的限距点，如图1为点P及其关于⊙C的限距点P'的示意图．
（1）当⊙O的半径为时．
①分别判断点M（3，4），N（3，0），关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P'存在，求点P'的横坐标的取值范围．
（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，若点P关于⊙C的限距点P'不存在，则r的取值范围为 0＜r＜ ．
【分析】（1）点P关于半径为1的圆存在限距点P'的条件是1≤PP'≤2，利用限距点的定义解答：
①连接圆心O和点M、T、N，分别求出点M、T、N与圆心O的距离，再减去半径，这个差就是PP'，利用限距点的定义可判断得出结论；
②按点P在EF边、DE与DF边及与点D重合三种情况分类讨论，在EF边上时，作出点P'并求出点P'运动的范围，进而求出其横坐标的最大值和最小值；在DE边上或在DF边上时，画出图形，依据限距点的定义判断即可；特别的点P与点D重合时符合新定义，从而得出结论；
（2）先证明△DEF是等边三角形，再说明点C是等边三角形DEF的中心，即点C到△DEF三边的距离相等，只需考虑点P存在限距点时r最小的情况，根据限距点的定义，列出相应的不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）∵⊙O的半径为，
∴点P关于⊙O的限距点P'存在的条件是≤PP'≤2．
①点N存在关于⊙O的限距点，理由：
如图1，连接OM、OT、ON，分别交⊙O于点Q、R、L，
∵OM＝＝5，OT＝＝，OL＝，
∴QM＝5﹣＞2，RT＝﹣1＜，LN＝3﹣，
∵＜3﹣＜2，
∴点M、T不存在关于⊙O的限距点，点N存在关于⊙O的限距点，该点的坐标为（1，0）；
②如图2，OD交⊙O于点G，交EF于点H，连接并延长EO交⊙O于点E'，连接并延长FO交⊙O于点F'，连接E'F'交x轴于点Q，设点P的横坐标为x，
∵DE、DF分别切⊙O于点E、F，
∴DE⊥OE，DF⊥OF，
∴∠OED＝∠OFD＝90°，
∵OD＝2，OG＝1，OE＝OF＝OD，
∴∠DOE＝∠DOF＝60°，
∵OE＝OF＝1，DE＝DF，
∴OD垂直平分EF，
∴∠OHE＝∠OHF＝90°，
∴∠OEH＝∠OFH＝30°，
∴OH＝OE＝，EH＝OE＝，FH＝OF＝，
∴E（，），F（，﹣），
∵∠QOF'＝∠HOF＝60°，∠QOE'＝∠HOE＝60°，OE'＝OF'，
∴OQ垂直平分E'F'，
∴∠OQF'＝∠OQE'＝90°，
∴OQ＝，QF'＝QE'＝，
∴E'（﹣，﹣），F'（﹣，），
当点P在EF上，PO的延长线交⊙O于点P'，
当点P与点H重合时，PP'的最小值为，当点P与点E或F重合时，PP'的最大值为2，
则1＜PP'≤2，
存在限距点P'，且点P'在弧E'F'上运动，
∴﹣1≤x≤﹣；
如图3，当点P在DE边上，且不与点D、E、F重合时，射线PO交⊙O于两点P'、P''，
则PP'＜1，PP''＞2，
∴此时不存在点P的限距点；
同理，当点P在DF边上，且不与点D、E、F重合时，不存在点P的限距点；
如图4，当点P与点D重合时，则PP'＝1，点P'是点P关于⊙O的限距点，此时，x＝1，
综上所述，点P关于⊙O的限距点P'的横坐标x的取值范围是﹣1≤x≤﹣或x＝1；
（2）如图5，连接OE，OC，
由（1）得，∠DEF＝∠DFE＝60°，
△DEF是等边三角形，
∵OE＝OC，∠EOC＝60°，
∴△OEC也是等边三角形，
∴∠CEF＝30°＝∠DEF，
∵∠CDE＝∠EDF，
∴点C是等边三角形DEF的中心，
∴点C到DE、EF、FD的距离相等．
设EF交OD于点P，⊙C交OD于点P'，
当PP'＞2r时，不存在点P关于⊙C的限距点，
∵P（，0），
∴PC＝，
∴，
解得0＜r＜．
故答案为：0＜r＜．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标的特征与性质，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．