苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第20讲重难点07两垂一圆构造直角三角形模型(学生版+解析)

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1.识别几何模型。
2.利用“两垂一圆构造直角三角形”模型解决问题
平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形
分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.
一．选择题（共12小题）
1．已知点A（﹣4，0），B（2，0）．若点C在一次函数的图象上，且△ABC是直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2）、B（7，8）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数共有（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，6），点C在坐标轴上，若△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
4．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．2个B．4个C．5个D．6个
6．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y＝的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．2个B．4个C．5个D．6个
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．8个
9．在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个B．2个C．4个D．6个
10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．
A．6B．7C．8D．9
二．填空题（共3小题）
12．如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+3上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为 ．
14．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为 ．
三．解答题（共1小题）
15．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）
（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）