安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二下册5月月考数学试题【附答案】

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数学
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】由分步计数乘法原理即可求解
【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种
故选：D
2. 以下求导计算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C
3. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据超几何分布的性质求解即可.
【详解】由题意，服从超几何分布，则.
故选：A.
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
【详解】函数，求导得，则，
所以所求切线方程为，即.
故选：B
5. 某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据:若，则
A. 134B. 120C. 116D. 110
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解.
【详解】依题意，，
显然，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
6. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A. 1.5B. 7.5C. 20.5D. 37.5
【答案】D
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式结合方差的性质即可求解.
【详解】设答对题目个数为Y，根据题目可知，
从而由方差公式，
又.
故选：D
7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用独立事件概率乘积公式结合比赛的规则求解即可
【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，
所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是
故选：B.
8. 现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A. 264种B. 216种C. 192种D. 144种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，
用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，
因此不同涂色方法数为；
用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法，
因此不同涂色方法数为，
所以不同涂色方案有（种）.
故选：A
【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分布列的性质列方程可得，即可判断AB；再根据数学期望和方差的公式、性质求解判断CD.
【详解】依题意得，解得，故A正确，B错误；
而，
则，故C错误；
而，
则，故D正确.
故选:AD.
10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为2
C. 在上是增函数
D. 若方程有2个不同的根，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图像即可判断D
【详解】因为函数，则，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故C错误；
则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确；
且，，则函数值域为，故A正确；
由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误；
故选：AB
11. 现有数字下列说法正确的是（ ）
A. 可以组成个没有重复数字六位数B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成个六位数D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解.
【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0，
第一步，先排首位有种不同排法，
第二步，再排其他5位数，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，
可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确；
对于B，由题意，末位只能为：0，2，4，
当末位为0时，有种排法；
当末位为2时，有种排法；
当末位为4时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误；
对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.
当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；
当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法；
当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成个六位数，故C错误；
对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：
第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，
第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，
又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，
所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接令即可求解.
【详解】令，可得.
故答案为：.
13. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则________.
【答案】
【解析】
【分析】列举出事件包含的情况数，得到，，由条件概率求解公式得到答案.
【详解】事件包含，，，，，，，共7种情况，即，
在事件中只有和满足“两次点数最小值为1”，故，
故.
故答案为：
14. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数，求出、，再利用“凸函数”的定义求解即得.
【详解】函数，求导得，，
依题意，，恒成立，
而函数在上单调递增，，则，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的展开式的各项系数之和为3.
（1）求的值；
（2）求的展开式的常数项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法列式求出的值.
（2）由（1）的结论，利用二项式定理，结合两个二项式相乘的特点求出常数项.
【小问1详解】
令，得的展开式的各项系数之和为，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以的展开式的常数项为.
16. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答）
（1）若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？
（2）若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？
（3）求两个舞蹈节目不相邻的概率.
【答案】（1）480 （2）144
（3）
【解析】
【分析】（1）特殊元素（朗诵节目）优先考虑，再排其它的即可；
（2）相邻元素用捆绑法解题即可；
（3）不相邻元素用插空法求出符合条件的所有排法，再用古典概型求概率即可.
【小问1详解】
朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法，
然后再排剩余的5个节目，共有种排法，
根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法.
【小问2详解】
三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列，
共有种不同排法.
【小问3详解】
先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法，
所以符合条件的排法共种排法，
6个节目的所有排法有种，
所以两个舞蹈节目不相邻的概率.
17. 玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，利用全概率公式计算可得；
（2）利用条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，
由题设可知，，，，
且，，，
所以
.
即顾客买下所查看一箱玻璃杯的概率为.
【小问2详解】
因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）应从情境开始第一关，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列；
（2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论.
【小问1详解】
由题意知：所有可能的取值为，，，
；；，
的分布列为：
【小问2详解】由（1）得：从情境开始第一关，则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，
；；，
；
，应从情境开始第一关.
19. 设函数.
（1）当时，求在上的最大值;
（2）讨论的单调性;
（3）若，证明只有一个零点.
【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
【小问1详解】
当时， ,
当所以在上单调递增 ,
当所以在上单调递减 ,
所以在上的最大值为.
【小问2详解】
，定义域为,
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有,
所以 在上单调递减,在上单调递增 ;
当时,在上单调递增 ,在上单调递减;
当时，在上单调递减,在上单调递增 .
【小问3详解】
当时,
当 时， ,
所以 有且仅有一个零点;
时， 单调递增,,所以 有且仅有一个零点;
时，,
所以有且仅有一个零点;
综上，时只有一个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数判断函数的单调性，进而求解函数在某个区间上的最值，以及分类讨论利用函数的单调性求函数值，进而判断函数零点存在情况 .
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