浙教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)期末必刷题02热考题(22大题型70题)(学生版+解析)-浙8

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题型一 复合二次根式的化简
题型二 分母有理化
题型三 比较二次根式的大小
题型四 二次根式的应用
题型五 与二次根式有关的新定义问题
题型六 选用合适的方法解一元二次方程
题型七 换元法解一元二次方程
题型八 一元二次方程根与系数的关系
题型九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合
题型十 一元二次方程的应用
题型十一 与一元二次方程有关的新定义问题
题型十二 统计图与数据分析综合
题型十三 多边形的内角和问题
题型十四 平行线的性质与判定综合
题型十五 与三角形中位线有关的计算问题
题型十六 矩形的性质与判定
题型十七 菱形的性质与判定
题型十八 正方形的性质与判定
题型十九 反比例函数的性质
题型二十 反比例系数k的几何意义
题型二十一 反比例函数与一次函数
题型二十二 反比例函数的实际应用
题型一 复合二次根式的化简
1．先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析
(2)
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式

2．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
（2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
故答案为：，，；
（2），
，
，
，
，
．
3．先阅读下列材料然后作答．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）根据勾股定理及题中方法求出即可．
【详解】解：（1），这里，，
由于，，即，，
；
（2）在中，，，，
，
即
，，
，，
，，
．
题型二 分母有理化
4．计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算二次根式的乘法和分母有理化，再加减求解即可．
【详解】解：
．
5．阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：，，求的值；
(3)已知：，，（，），求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键．
（1）运用完全平方公式的变形求解即可；
（2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可；
（3）将变形为，最后整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：
（3）解：∵，，
∴．
6．阅读下面材料：
我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．
请根据上述材料，解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
①；②；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
【答案】(1)①； ②
(2)，理由见解析
(3)，
【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可；
（）根据阅读材料中的分母有理化即可；
（）根据阅读材料中的分母有理化即可；
本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：，；
（2）解：由， ，
又∵，
∴．
∴，
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，即有最大值，
故答案为：，．
题型三 比较二次根式的大小
7．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小， （填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
8．先用“”“”“”填空．
______；______；______．
再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由．
【答案】，理由见解析．
【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键．
【详解】解：，，
又，
；
，，
又，
；
，，
又，
；
猜想：（，），
理由如下：
∵，，
∴，
∴；
9．阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（4）根据，且，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
题型四 二次根式的应用
10．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料：
当时：
又
当且仅当时，．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为______，此时______；
(2)若，求y的最小值．
【答案】(1)4，
(2)y的最小值为
【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键．
（1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值；
（2）仿照示例，，得到最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
当且仅当时，，
解得，
∴当时，的最小值为4，此时，
故答案为：4，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时，的最小值为，
∴y的最小值为．
11．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
(1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；
(2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长．
【答案】(1)；
(2)，
【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键．
（1）根据公式先求出，再求出即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
12．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)4680元
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：
（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
（2）解：由题意得：，
，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
13．我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式．
海伦公式：，其中
秦九韶公式：．
(1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
（1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
由海伦公式，得；
（2）解：∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式，得．
题型五 与二次根式有关的新定义问题
14．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：
(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
，
∴
∴，
∴．
15．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）分和，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）当，即：时，则：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴（舍去）；
当，即：时，则：，
∴或（舍去）；
∴．
16．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可；
（2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可；
（3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可．
【详解】（1）解：，
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义．
题型六 选用合适的方法解一元二次方程
17．用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解决问题的关键．
（1）把原方程变形为，得到或，即可求出答案．
（2）把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
18．解方程：．
【答案】，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
利用公式法的求根公式来求解即可．
【详解】解：方程，其中，，．
∴，
∴
解得：，．
19．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
即：或
∴，；
（2）解：
即：或
∴，．
题型七 换元法解一元二次方程
20．读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
【答案】(1)；
(2)，，，．
【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案；
（）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）设最小正整数为，则，
即：，
设，则，解得：，，
∵为正整数，
∴，解得，（舍去），
∴这四个连续正整数为，，，．
21．请阅读下列解方程的过程．
解：设，
则原方程可变形为，
解得．
当时，，解得；
当时，，此方程无实数根．
所以原方程的解为．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：．
【答案】
【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，
解得．
当时，，解得．
经检验，是分式方程的解；
当时，，解得．
经检验，是分式方程的解．
所以原方程的解是．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤．
题型八 一元二次方程根与系数的关系
22．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值．
(1)______，______；
(2)；
(3)．
【答案】(1)2，；
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案；
（2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可得到答案；
（3）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案．
【详解】（1）解：∵方程的两根为，，
∴，，
故答案为：2，；
（2）
（3）∵方程的两根为，，
∴，则，
∴
23．已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长．
【答案】7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，则，再根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵三角形的一边，
∴的周长为．
24．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若是方程的两根，则______，______；
(2)已知满足，，求的值；
(3)已知满足，，求正整数的最小值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（）根据题意解答即可；
（）分和两种情况解答即可；
（）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解；
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵满足，，
当时，原式；
当时，可看作方程的两根，
∴，，
∴原式；
综上，的值为或；
（3）解：∵，，
∴，，
∴为一元二次方程的两个根，
∵，且，
∴，
∴，
∴正整数的最小值为．
25．阅读材料
材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系：
；
材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：m，n是一元二次方程的两个实数根，
．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______；
(2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值；
(3)已知实数s，t满足且，求的值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解本题的关键；
（1）根据根与系数的关系可得，；
（2）根据根与系数的关系可得，结合完全平方公式可得答案；
（3）根据题意可得s，t可看作是一元二次方程的两个数根．可得，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，
则，；
（2）解：由题意得，
．
（3）解：实数s，t满足，且，
s，t可看作是一元二次方程的两个数根．
．
，
．
．
题型九 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行计算即可．
（2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可．
【详解】（1）证明：
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：
又
．
27．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；
(2)若该一元二次方程的两个实数根分别为，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)经过，理由见解析
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，
（1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证．
（2）根据，，得出，将代入，即可求解．
【详解】（1）证明：
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：，，
当时，
∴动点所形成的函数图象经过点．
28．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
(1)两个根的平方和为12；
(2)两个根均大于；
(3)．
【答案】(1)或2
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答．
（2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答．
（3）先得出，再因为，解得：， ，解得，即可作答．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：

整理得：
∴．
题型十 一元二次方程的应用
29．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得：
，
解得：，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴；
答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．
30．旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？
【答案】共有支队伍参加比赛
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了场”列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得或（舍），
答：共有支队伍参加比赛．
31．“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个．
(1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率为
(2)头盔的售价应为47元或38元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
（1）设每次降价的百分率为，根据两次降价后，该头盔的售价为32元个得：，即可解得答案；
（2）设头盔的售价应为元，根据月销售利润为5720元得：，即可解得答案．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得或（舍去），
每次降价的百分率为；
（2）解：设头盔的售价应为元，
根据题意得：，
整理得，
解得或，
头盔的售价应为47元或38元．
题型十一 与一元二次方程有关的新定义问题
32．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
(2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可；
（2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：①，
，，
，
不是“差1方程”，
②，，，
，
，
，
是“差1方程”；
（2）解：，
，，
方程（是常数）是“差1方程”，
或，
或．
33．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可；
【详解】（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴， ，
∴
∴
；
34．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，为．
35．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②；③
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；
（2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴该方程的衍生点M的坐标为
（2）①∵方程为，
∴ ，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②
∴，
∴该方程的衍生点M的坐标为；
③解∶直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
题型十二 统计图与数据分析综合
36．某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
(1)求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
(2)若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，，
(2)估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；
（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可．
【详解】（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，
∴中位数为；
平均数为：；
这组数据中7分出现的次数最多，则众数为．
（2）解：（人）
答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人．
37．某校八年级开展英语拼写大赛，八（1）班和八（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各自选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
两个班自各选出的5名选手的复赛成绩条形统计图
(1)根据图示直接写出m，n的值．
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班的复赛成绩比较好？
(3)已知八（1）班和八（2）班的复赛成绩的方差分别是70，160，哪个班的成绩比较稳定？
【答案】(1)85
(2)八（1）班成绩较好
(3)八（1）班的成绩更稳定
【分析】本题考查了数据的初步分析，中位线、众数定义，方差的意义，解题关键是掌握相关数据的定义及公式．
（1）根据中位数、众数的定义或计算公式进行计算即可；
（2）平分数两个班相同，比较中位数即可；
（3）根据方差进行判断即可．
【详解】（1）解：八（1）5位选手中成绩中出现次数最多的是85，
所以众数；
八（2）5位选手成绩从小到大进行排序为70、75、80、100、100，则排在中间位置的是80，
所以中位数；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班复赛成绩中位数较大，
所以八（1）班成绩较好．
（3）解：因为八（1）班和八（2）班的复赛成绩的方差分别是70，160，且，
所以八（1）班的成绩更稳定．
38．当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校八年级、九年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
八年级20名学生的测试成绩是：110，111，100，99，100，89，88，88，87，118，97，96，85，86，106，106，120，112，106，106；
九年级20名学生的测成绩在组中的数据是：104，106，107，108，106，109；
八年级、九年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中、、的值；
(2)该校哪个年级学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)该校八年级540名学生，九年级560名学生，估计两个年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
【答案】(1)；；
(2)九年级学生掌握防诈安全知识更好；理由见解析
(3)359名
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义以及计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数的定义可求出a、b的值，再根据各组百分比之和为，可求出m的值；
（2）根据中位数、众数的大小可得答案；
（3）求出样本中八年级、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】（1）解：八年级20名学生的测试成绩出现次数最多的是106分，共出现4次，
因此众数是106分，即；
由扇形图可得九年级抽查的20名学生成绩A组人，B组人，C组人，D组人，
将20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为，，
∴中位数为，
，
∴，
答：；
（2）解：九年级学生的成绩较好，理由：
因为九年级学生的测试成绩的中位数、众数均比八年级学生成绩的中位数、众数要高，
所以九年级学生的成绩较好；
（3）解：（人），
∴该校八年级540名学生，九年级560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共359名．
39．甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中，为锦绣太原再添光华．为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动．
【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛
小明随机调查了八年级若干名同学参加此次知识竞赛的成绩（共道题目，每答对1题得10分），并将结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表分，B代表分，C代表分，D代表分，E代表分）．
【活动二】晋祠-天龙山宣讲达人
学校拟招募一名晋祠-天龙山文化宣讲达人．现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进行了测评，成绩如右表（单位：分）．
请根据有关信息解决下列问题：
(1)小明所调查的知识竞赛成绩的众数是______________分，中位数是______________分；
(2)小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知识竞赛成绩的平均数．你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由；
(3)在晋祠-天龙山宣讲达人招募中，若将识储备、现场表达、仪容仪表三项按照的比例计算最终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选．
【答案】(1)；；
(2)同意；；
(3)乙最终会当选．
【分析】本题主要考查了众数、中位数、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）众数：扇形图中（分）占比最高，故众数为分；中位数则是分数处在中间位置的数，故中位数为分；
（2）同意，平均数可通过各分数乘对应比例计算即可；
（3）计算出甲、乙的成绩比较大小即可．
【详解】（1）解：由扇形统计图可知，
小明所调查的知识竞赛成绩的众数是：分；
中位数是：分；
故答案为：；；
（2）解：同意；
；
（3）解：甲的最终成绩为：（分），
乙的最终成绩为：（分），
因为，
所以乙最终会当选．
题型十三 多边形的内角和问题
40．如图，在四边形中，，．
(1)如图1，若，则________度；
(2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数；
(3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)65
(2)
(3)①，②，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（3）解：四边形中，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
②∵五边形的内角和为，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴．
41．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数；
(2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数；
(3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系． 三角形外角的性质和三角形内角和定理．
（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数；
（3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加，由此即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；

（2）∵，，
∴；

（3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加，
所以当截去5个角时增加了，
则
题型十四 平行线的性质与判定综合
42．如图，已知四边形是平行四边形，于点E，于点F，延长分别交，于点M，N．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】（1）证明AM∥CN，CM∥AN即可解决问题．
（2）证△DME≌△BNF（AAS），推出DE=BF=4，再根据勾股定理求出BN=5，解决问题即可．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
43．如图，P是正内一点，与都是正三角形．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AD=PE，AE=PD即可解决问题；
（2）过点P作PQ⊥AE，垂足为Q，根据等边三角形和平行四边形的性质得到AE和PE，以及∠EPD=150°，得到∠PEQ=30°，利用直角三角形的性质与勾股定理求出PQ，利用平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，
∴BP=EP，CD=CP，AC=CB，∠DCP=∠BCA=60°，
∠BCP=∠ACD，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB=PE，同理可证：AE=DP，
∴四边形AEPD是平行四边形．
（2）过点P作PQ⊥AE，垂足为Q，
∵△BEP和△PCD为等边三角形，PB=3，PC=4，
∴PE=PB=3，PD=PC=4，∠BPE=∠CPD=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=PD=4，AD=PE=3，
∵∠BPC=90°，
∴∠EPD=360°-60°-60°-90°=150°，
∴∠PEQ=30°，
∴PQ=EP=，
∴四边形AEPD的面积=AE×PQ==6．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
44．如图在中，对角线，交于点E，．过点E作直线，交，于点N､M．
（1）求证：；
（2）若．求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BE=DE，AB∥CD，利用ASA证明△BEN≌△DEM，可得结论；
（2）根据AE求出EC和AC，利用勾股定理求出BC，BE，利用平行四边形的性质得到BD．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=DE，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDE，
又∵∠BEN=∠DEM，
∴△BEN≌△DEM（ASA），
∴EN=EM；
（2）∵AE=2，
∴EC=2，AC=4，
∵AC⊥BC，AB=6，
∴BC=，
∴BE=，
∴BD=2BE=．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到对角线互相平分．
题型十五 与三角形中位线有关的计算问题
45．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．
根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可．
【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是，
的中点，
，分别是与的中位线，
，，
，
，
．
46．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】解：与的数量关系是：．理由如下：
如图：延长交于点G，
由题意，知，，
∴，
又∵点D为的中点，
∴点G为的中点，且，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴，
，
∴．
∵与都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
47．如图，在中，，是边上的高线，过点作交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接交于点，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，进而证得是三角形中位线，根据直角三角形斜边上中线的性质得到结论；
（2）过点作交于，设，根据过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，可推出是的中位线，得出，然后利用等角对等边说明，，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点作交于，设，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去）
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，三角形中位线的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形两锐角互余等．勾股定理及三角形中位线的灵活运用是解题的关键．
题型十六 矩形的性质与判定
48．如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
49．如图，矩形中，，O是对角线的中点，过O的直线分别交，于点E，F，连结，．

(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)当时，若矩形周长为20，的面积为12，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）利用矩形的周长等于，的面积为，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵矩形， O是对角线的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
又四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵矩形的周长等于，
∴，
∵的面积为，
∴或，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．
题型十七 菱形的性质与判定
50．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)15°
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形；
（2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BFDE，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD为菱形；
（2）∵四边形EBFD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键．
51．如图． 在平行四边形中，分别是 边上的点，且 ， 交于点 ．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若 ，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得出 ，由已知条件得出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得出四边形是平行四边形．
（2）先证明平行四边形是菱形，由菱形的性质可得出，，由勾股定理可得出，即可得出．
【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形，

又

四边形是平行四边形．
（2）
平行四边形是菱形
，，．
．
∴，
52．如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、．
(1)求证:四边形是菱形．
(2)若，，则菱形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果.
【详解】（1）证明： ，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为： ．
题型十八 正方形的性质与判定
53．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在中，，
，
和的角平分线相交于点C，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
∴，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示，
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，
，
，
，
，
由（1）可知，是直角三角形，且，
∵，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键．
54．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点．
(1)如图1，当为的中点时，求出的长．
(2)如图2，延长交于点，连接，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论；
（2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知，
，，
，，
，
∵当 P 为 的中点
∴
∴
，
，
，
作于T，设，则，，
在中由勾股定理得，
解得：，
；
（2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，
，
∴，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
55．已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后利用，得到，进一步证明出四边形是菱形；
（2）延长交于点M，首先证明出，得到，，，然后得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接

∵E、F、G、H分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形
∴
∵同理可得，是的中位线
∴
∴
∴四边形是菱形；
（2）如图所示，延长交于点M，

∵，，
∴，，
∵
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴，即
∴．
∴四边形的面积为8．
【点睛】此题考查了梯形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定与性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及性质，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键．
题型十九 反比例函数的性质
56．已知y关于x的反比例函数的表达式为．
(1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围；
(2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可；
（2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得；
（2）解：，
反比例函数的表达式为，
把点代入，得，
A点的坐标为．
57．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上．
(1)求：反比例函数的解析式和的值；
(2)填空：
①函数的图象在第________象限；
②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________；
③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________．
【答案】(1)，
(2)①二，四；②增大；③
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，反比例函数的解析式为：；
（2）∵，，
∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大；
∵点和在双曲线上，且，
∴；
故答案为：①二，四；②增大；③．
58．已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点，都在该反比例函数图象上；
①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标；
②当，时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；
（2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；
②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上，
∴，解得，
∴；
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称，
∴，
∵，则，解得，
∴，
将代入得解得，
∴；
②∵，则，
∵，
∴，点在第三象限，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定k、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
题型二十 反比例系数k的几何意义
59．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积．
【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E，
∵四边形是平行四边形，
∴，；
∴轴，
∴，
∴，
根据系数k的几何意义，，，
∴四边形的面积．
60．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，．
(1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ；
(2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积．
【答案】(1)4，8
(2)不变，8
【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得；
（2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知．
此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示：
∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上，
∴点，
∵平行y轴，平行y轴，
∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，
∴四边形是矩形，四边形是梯形，
又∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数k的几何意义得：，
，
∴，
故答案为：4；8；
（2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下：
设点P的坐标为，
则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点，点，
同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形，
则，，，，
∴，
∴，
由（1）可知：．
61．如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度）
(1)求该反比例函数的表达式．
(2)为该反比例函数图象上异于点的一点．
若点的坐标为，求的值．
连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答；
（2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值；
根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知：，
将点代入，得：，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：将代入，得：；
点、在反比例函数上，
根据反比例系数的几何意义得：，，即，
设与交点为，如图所示：
，，
，
故答案为：．
62．【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点．
【构建联系】
（1）填空： ．
【深入探究】
（2）求证：点在直线上．
（3）请写出与的数量关系，并说明理由．
（4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析
【分析】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案；
（2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论；
（3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案；
（4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可．
【详解】解：（1）由于函数的图象经过点，
则，
又，
，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：，
设，，
轴，轴，
，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点在直线上；
（3），理由如下：
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
轴，
，
；
（4）如图所示，连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求．
【点睛】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
63．如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为．
(1)的值为 ；
(2)若，求的值；
(3)若，试比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见详解
【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键．
（1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解；
（2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解；
（3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为，
∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
解得，；
（3）解：∵，
∴当时，，即，
∴．
题型二十一 反比例函数与一次函数
64．如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点．
(1)求m和n的值．
(2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数，即可求解，继而反比例函数解析式为，再将代入，即可求解；
（2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得将代入得：，
∴反比例函数解析式为，
将代入得：；
（2）解：根据图象得到不等式的解集是：或．
65．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出使成立的的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键．
（1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当，则，解得：，
∴点B的坐标为．
∵一次函数过A、B两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线与x轴交于M，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，．
66．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析，
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解；
（3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
．
一次函数的解析式为．
将点代入，得，
．
反比例函数的解析式为．
（2）解：在反比例函数中，令，得．
点的坐标为．
．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为．
令，得．
点的坐标为．
题型二十二 反比例函数的实际应用
67．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；
(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；
(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？
【答案】(1)
(2)
(3)对病毒有作用的时间长为分钟
【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题．
【详解】（1）
解：设药物燃烧时的函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧时的函数关系式为；
（2）
解：设燃烧后函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧后的函数关系式为；
（3）
解：由题意得： 解得：，
（分钟），
答：对病毒有作用的时间长为分钟．
68．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，，
(2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用：
（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标；
（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
；
（2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当时，的解析式为，将、代入得：
，
解得，
的解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
时，注意力指标都不低于32，
∵，
陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．
69．【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．
(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则：
①关于的函数解析式是________________．
②完成表格：______________；________________．
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②，；③见解析
(3)或
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．
（1）根据题意，直接根据求解即可；
（2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象；
（3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴重物所受拉力为，
故答案为：；
（2）解：①由得，则，
∴关于的函数解析式为；
②当时，；
当时，；
故答案为：；
③列表：
描点，连线，可得该函数的图象：
（3）解：如图，
由题意，设，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴,
由得，
解得，，
经检验，和是所列方程的解，
当时，，当时，，
∴点C的坐标为或．
70．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．

(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．小明的计算过程如下：
＝
＝
＝
＝
小莉的计算过程如下：
＝
＝
＝
＝
提出问题
该如何化简？
分析问题
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有．
解决问题
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
．
方法应用
（1）利用上述解决问题的方法化简：，
（2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）．
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
八（1）班
85
85
m
八（2）班
85
n
100
学段
平均数
中位数
众数
方差
八年级
103
a
119.3
九年级
102
b
112
72.6
甲
乙
知识储备
8
9
现场表达
8
8
仪容仪表
9
7
10
20
30
40
50
…
…
8
2
…
10
20
30
40
50
…
…
8
4
2
…