重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ）
A．11B．12C．10D．13
2．在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
3．已知圆上的两点到直线的距离分别为，且.若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．设复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，若，，则（ ）
A．4B．5C．4或5D．5或6
6．已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：
①，且；
②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（ ）
A．26B．22C．20D．0
二、多选题
9．如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（ ）
A．B．C．D．
10．在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ）
A．B．平面C．D．平面
11．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为：
其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知平面向量，，若，则实数的值为 .
13．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 .
14．记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则 ；的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线和是函数图象两条相邻的对称轴．
（1）求的解析式和单调区间；
（2）保持图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围．
16．已知是函数的极小值点．
（1）求的单调性；
（2）讨论在区间的最大值．
17．为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．
（1）求和；
（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数：
（ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．
①；
②；
（ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．
18．如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，.
（1）若平面，证明：是的三等分点；
（2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由；
（3）求的最小值.
19．已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯．
（1）若数列：，求数列和；
（2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列；
（3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】含有2个元素的子集个数为，其中两个数相邻的有5个，
所以所求子集个数为．
故选C．
2．【答案】A
【详解】由可知，且，
故，
当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选A.
3．【答案】D
【详解】设，由，
可知，即，
同理，
所以是的两根，
所以，所以.
选：D.
4．【答案】D
【详解】由条件不妨设．于是，．
则．
故．
设，，
当单调递增；当单调递减；
当时，取最大值27．从而最大值为．
故选D.
5．【答案】A
【详解】由题意可知：，
且，
可得，其中，
且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值，
若，所以.
故选A.
6．【答案】B
【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示.
由题意知，O为的中点，∴点A为中点.
又，点N在的平分线上，
∴，∴是等腰三角形，
∴，
则，所以.
又，所以.
又在中，由余弦定理得，
即，即，
化简得：.
又，所以，所以，即
故选B.
7．【答案】D
【详解】由题意得，即，
所以，
所以，
令，则，
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
因为在上递增，所以，所以.
故选D
8．【答案】B
【详解】由，且，不妨令，则，
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，；
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，，
因此，
所以该数表中的10个数之和的最小值为22.
故选B
9．【答案】CD
【详解】因为为奇函数，故，
故图象的对称中心为.
因为为偶函数，故，
故图象的对称轴为.
对于A，的对称轴为，此时，
而，故不是对称中心，故A错误；
对于B，的对称中心的横坐标为，此时，
而，故不是对称轴，故B错误；
对于C，，，故函数图象有一个对称中心，
而，故为函数图象的对称轴，故C正确；
对于D，因为，故为函数图象的对称，
而，故函数图象有一个对称轴，故D正确.
故选CD.
10．【答案】BC
【详解】
如图，取中点，连接，
分别是和的中点，四棱锥是正四棱锥，
且，即四边形是平行四边形，
对于A，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，是中点，所以，又因为，所以，故C正确；
对于D，连接交于点，连接，
因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，，
因为平面，平面，所以，
则由，，平面平面，可证得平面，
又因为，所以与为异面直线，
如果平面，则与题意矛盾，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ABC
【详解】由题意可知：的可能取值为，且，
所以的分布列为
可得，，，
所以，，即，
可得，，故A、C正确；
由题意可知：的可能取值为，可得：
则，
所以的分布列为
可得，
，（认为此时），
则，
所以，即，故D错误；
又因为，故B正确；
故选ABC.
12．【答案】
【详解】，，
，.
13．【答案】
【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
14．【答案】
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，
，
即，
可得，
且，则，可得，
则，
且，所以；
因为，
由正弦定理可得，
由题意可知：，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
15．【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【详解】（1）由题设条件知的最小正周期，所以．
又因为，，所以，．
令，得的单调递增区间为，
令，得的单调递减区间为．
（2）由题可知，
所以当时，．
若在区间恰有两个极值点，
则在区间恰有两个极值点，
因此，解得的取值范围是．
16．【答案】（1）在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．
（2）答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，．
当时，，不是的极值点．
当时，令，得，．
在小于0，在区间大于0，在小于0，
故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意．
综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．
（2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论.
当,即时，在区间单调递减，故最大值为；
当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为；
当时，在区间单调递增，故最大值为；
当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为；
当时，在区间单调递减，故最大值为．
17．【答案】（1），
（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析
【详解】（1）由题设知服从二项分布，
所以，．
（2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：
若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足，
否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1．
统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下：
若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足
若指标偏高，则，，会被统计量计入，
且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1．
（ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望，
由（ⅰ）知的观测值，
因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；
当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；
当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案．
18．【答案】（1）证明见解析
（2）椭圆，理由见解析
（3）
【详解】（1）由于平面，作，垂足为点，
因为平面，则，
又因为，且，平面，
因此平面，因为平面，所以，
同理可证：，
又因为，可得，所以，
因为面，从而，
因此，进而为的三等分点.
（2）椭圆，
延长至，使得，
由于，可得M，D到的距离为定值，
因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直，
又因为M，D为平面上两点，，
从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，
因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下.
（3）以A为原点，所在直线为x轴，过A点与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为，
故由图可知椭圆的短半轴长为1，
由，从而椭圆的长半轴，进而椭圆方程：，
又由，平面，从而，即，
由定义知为椭圆的左焦点，设的右焦点为，则，
设，
在中，由余弦定理，可得，
解得，同理可得：，
解法1：由，
令，则，可得，
令，解得，（舍去），
当，；当，，
因此为的极小值点，可得.
解法2：由，原题等价于求的最小值，
则等价于求的最小值，
又由，
当且仅当时等号成立，因此的最小值为.
19．【答案】（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）解：由题意得，数列，数列，
故数列．
（2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列；
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，很，故仍为递增数列：
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列．
综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列．
以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列．
（3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为．
设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，
则．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即；
若与异号，则或；
若与中有0，则一定不与异号，故．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则；
若与异号，有以下三种情况：
①若与同号，显然也与异号，则；
②若与异号，则；
③若与中有0，只有一个0，
不妨设，则与异号，故，或，或．
若与同为0，则；
若，，不妨设，则与同号，故；
若，，不妨设，则与异号，故或；
对进行变换与进行变换类似．
综上，对进行一次变换后，．
以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对．
所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变，
即．
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
2
3
4
5
6