重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题（Word版附解析）

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1. 设 是集合 的子集，只含有 2 个元素，且不含相邻的整数，则这种子集 的个数为（
）
A. 11 B. 12 C. 10 D. 13
2. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为 （单
位：米/秒）时的跳跃高度 （单位：米）满足 ，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A 0.25 米 B. 0.5 米 C. 0.75 米 D. 1 米
3. 已知圆 上的两点 到直线 的距离分别为 ，且 .若
，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 设复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，若 ， ，则
（ ）
A. 4 B. 5 C. 4 或 5 D. 5 或 6
6. 已 知 点 M 是 椭 圆 上 的 一 点 ， ， 分 别 是 C 的 左 、 右 焦 点 ， 且
，点 N 在 的平分线上，O 为原点， ， ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数 与函数 ，当 ，曲线 与
交于一点 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 在下面 数表中，第 行第 列的数记为 ，其中 ， ， ，满足：
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① ，且 ；
② ，有 ．
则该数表中的 10 个数之和的最小值为（ ）
A. 26 B. 22 C. 20 D. 0
二、多选题
9. 如果存在正实数 a，使得 为奇函数， 为偶函数，我们称函数 为“和谐函数”，则下
列四个函数，是“和谐函数”的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在正四棱锥 中，侧棱 与底面边长相等， 分别是 和 的中点，则（ ）
A. B. 平面 C. D. 平面
11. 已知随机变量 取值为不大于 n 的正整数值，它的分布列为：
1 2
其中 满足： ，且 .定义由 生成的函数
.现有一个装有分别标记着 1，2，3 的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，
若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为 ，由 生成的函数为 ， ；若连续两次有放
回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为 ，此时由 生成的函数为 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
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12. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 的值为______.
13. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买 16 个饺子，其中有 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且
.在小蒋吃到的前 13 个饺子均为玉米肉馅的条件下，这 16 个饺子全部为玉米
肉馅的概率为______.
14. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的中点， 为 边上一点，
.设 ，且 ，则 __________； 的最小
值为_________.
四、解答题
15. 已知直线 和 是函数 图像两条相邻 对称轴．
（1）求 的解析式和单调区间；
（2）保持 图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图像．若
在区间 恰有两个极值点，求 的取值范围．
16. 已知 是函数 的极小值点．
（1）求 的单调性；
（2）讨论 在区间 的最大值．
17. 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取 100 名患者，均分为两组，
分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别
为 和 ．在治疗过程中，用指标 衡量患者是否受益：若 ，则认为指标 正常；若
，则认为指标 偏高；若 ，则认为指标 偏低．若治疗后患者的指标 正常，则认为
患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例
为 0.6．
（1）求 和 ；
（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第 位
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的患者治疗后指标 的值为 ， ，2， ，50，定义函数：
（ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．
① ；
② ；
（ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并
根据统计量的取值作出统计决策．
18. 如图，三棱锥 中，点 在平面 射影 恰在 上， 为 中点， ，
， .
（1）若 平面 ，证明： 是 三等分点；
（2）记 的轨迹为曲线 ，判断 是什么曲线，并说明理由；
（3）求 的最小值.
19. 已知 项数列 ，对于给定 ，定义变换 ：将数列 中的项
替换为 ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 ．其中，当 时， ；当
时， ；当 时， ．若将数列 再进行上述变换 ，
记得到的新数列为 ，重复操作，得到数列 ，并称 为第一次 变
换， 为第二次 变换，⋯．
（1）若数列 ： ，求数列 和 ；
（2）设 为递增数列，对 进行有限次 变换后得到数列 ．证明： 为递增数列；
（3）当第 次 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 ；否则 ．对于给定的
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项数列 ，进行 2025 次 变换，证明： ．
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