2025年中考考前押题最后一卷：数学（天津卷）（解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6
解：（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，
答案：B．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：选项A、B、C的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
答案：D．
3．2025年3月21日发布的《2024年天津市国民经济和社会发展统计公报》显示我市人均地区生产总值132143元，将数据132143用科学记数法表示应为（ ）
A．0.132143×106B．1.32143×105
C．13.2143×104D．1.32143×106
解：132143＝1.32143×105．
答案：B．
4．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
解：这个组合体的主视图为：
答案：A．
5．12sin45°-22的值等于（ ）
A．0B．24C．-24D．1
解：12sin45°-22
=12×22-22
=24-22
=-24．
答案：C．
6．估计42的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
解：
∵36＜42＜49，
∴6＜42＜7，
即42在6到7之间，
答案：C．
7．计算3x+1+6x2-1的结果等于（ ）
A．3B．3x-1C．﹣3D．3x+1
解：原式=3(x-1)(x+1)(x-1)+6(x+1)(x-1)
=3x-3+6(x+1)(x-1)
=3x+3(x+1)(x-1)
=3(x+1)(x+1)(x-1)
=3x-1，
答案：B．
8．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=-6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=-6x的图象上，
∴y1=-6-2=3，y2＝﹣6，y3＝﹣2．
∴y2＜y3＜y1．
答案：B．
9．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（ ）
A．5x+y=3x+5y=2B．5x+y=2x+5y=3
C．5x+3y=1x+2y=5D．3x+y=52x+5y=1
解：设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2，
答案：A．
10．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝78°，点D在边AB上，以点C为圆心，小于线段CD长为半径画弧分别交线段BC，DC于E点，F点，连接EF，以点D为圆心线段CF长为半径画弧交线段DC于G点，以点G为圆心线段EF长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段CF长为半径所画弧于H点，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
解：由作图过程可知，∠CDI＝∠BCD，
∴DI∥BC，
∴∠AID＝∠ACB．
∵∠B＝42°，∠A＝78°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝60°，
∴∠AID＝60°．
答案：C．
11．如图，把△ABC以点B为中心顺时针旋转60°得到△DBE，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在AC的延长线上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．DE∥CBB．AC＝BEC．∠BDE＝∠ABCD．CE⊥BD
解：∵把△ABC以点B为中心顺时针旋转60°得到△DBE，
∴∠CBE＝60°，BC＝BE，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE，AC＝DE，故B，C不符合题意，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴∠BCE＝∠A+∠ABC＝60°，∠DBE+∠CBD＝60°，
∴∠CBD＝∠A，
∴∠CBD＝∠D，
∴DE∥CB，故A符合题意；
∵∠A不一定是30°，
∴∠ABD≠60°，
∴CE不一定与BD垂直，故D不符合题意，
答案：A．
12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，有下列结论：
①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于9m；
②s的最大值是9.375m；
③汽车刹车后到停下来t等于2.5s．
其中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：由题意得，函数的解析式是s＝15t﹣6t2＝﹣6（t-54）2+758，
∴当t=54时，S取得最大值758=9.375，即汽车刹车后行驶过程中的最大距离是9.375m＞9m，故①、②正确．
又∵t=54，
∴汽车刹车后到停下来t等于54s，即1.25s，故③错误．
综上，正确的有2个．
答案：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、2个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 37 ．
解：从袋子中随机取出1个球共有7种等可能结果，其中它是红球的有3种结果，
所以它是红球的概率是37，
答案：37．
14．计算﹣x3÷（﹣x）2的结果为 ﹣x ．
解：
﹣x3÷（﹣x）2
＝﹣x3÷x2
＝﹣x．
答案：﹣x．
15．计算(15+4)(4-15)的结果为 1 ．
解：原式＝（4+15）（4-15）
＝42﹣（15）2
＝16﹣15
＝1．
答案：1．
16．若一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象经过第二、一、四象限，则k的值可以是 ﹣1 （写出一个即可）．
解：
∵一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴k可以等于﹣1．
答案：﹣1（答案不唯一）．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE=32，作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（Ⅰ）CF的长为 322 ；
（Ⅱ）若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为 524 ．
解：（Ⅰ）过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEG＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG．
在△BAE和△GEF中，
∠BAE=∠FEG∠B=∠EGF=90°AE=EF，
∴△BAE≌△GEF（AAS），
∴BE＝FG=32，AB＝EG＝4，
∴BE+EC＝EC+CG，
∴BE＝CG=32．
∵FG⊥BC，
∴FC=CG2+FG2=322．
答案：322；
（Ⅱ）过点M作MH⊥BC于点H，延长HM交AD于点K，如图，
∵AB⊥BC，MH⊥BC，FG⊥BC，
∴AB∥MH∥FG，
∵M为AF的中点，
∴MH为梯形ABGF的中位线，
∴MH=12（AB+FG）=114，BH=12BG=12（BC+CG）=114．
∵∠DAB＝∠B＝90°，MH⊥BC，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK＝BH=114，HK＝AB＝4，∠AKH＝90°，
∴MK＝HK﹣MH=54，DK＝AD﹣AK=54．
∵∠MKD＝90°，
∴DM=MK2+DK2=542．
答案：524．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，点A，B均在格点上，且∠ABC＝90°．
（Ⅰ）线段AB的长等于 17 ；
（Ⅱ）若D为圆与网格线的交点，P为边AC上的动点，当DP+PB取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取点B所在竖向格线与圆的交点H，连接DH交AC于点O，则∠ABC＝∠DBH＝90°，点O为圆心，取AB与中间竖向格线的交点E，取AC与竖向格线的交点F，作直线FE交竖向格线的交点G，连接BG交圆于点I，过点I作直径IB'，连接DB'交直径AC于点P，点P即为所作 ．
解：（1）由勾股定理得AB=12+42=17，
答案：17；
（2）如图，点P即为所作，
由作图知FE＝GE，AE＝BE，∠AEF＝∠BEG，
∴△AEF≌△BEG（SAS），
∴∠FAE＝∠EBG，
∴AC∥BG，
∵IB'为直径，
∴∠IBB'＝90°，
∴BB'⊥AC，
由垂径定理知B和B'关于直径AC对称，
∴PB'＝PB，
∴DP+PB＝DP+PB'＝DB'，
∴点P即为所作．
答案：取点B所在竖向格线与圆的交点H，连接DH交AC于点O，则∠ABC＝∠DBH＝90°，点O为圆心，取AB与中间竖向格线的交点E，取AC与竖向格线的交点F，作直线FE交竖向格线的交点G，连接BG交圆于点I，过点I作直径IB'，连接DB'交直径AC于点P，点P即为所作．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
19．解不等式组2x+3≥-1①8x≤7x+5②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①；得 x≥﹣2 ；
（2）解不等式②，得 x≤5 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤5 ．
解：（1）2x+3≥﹣1，
两边同时减3，得到2x+3﹣3≥﹣1﹣3，即2x≥﹣4，
两边再同时除以2，不等号方向不变，解得x≥﹣2．
答案：x≥﹣2；
（2）不等式两边同时减7x，得到8x﹣7x≤7x+5﹣7x，即x≤5．
答案：x≤5；
（3）把两个不等式的解集在数轴上表示，如图所示：
（4）不等式组的解集为﹣2≤x≤5．
答案：﹣2≤x≤5．
20．浓情端午浸润书香，某校为了了解学生每天课余阅读时长（单位：min），随机抽查了该校a名学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填空：a的值为 75 ，图①中m的值为 16 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生阅读时长数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校共有学生1200名，估计该校学生中阅读时长不少于40min的学生人数约为多少？
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：a＝15÷20%＝75（人），
图①中m的值为1275×100＝16；
答案：75，16；
（Ⅱ）观察条形统计图，x=20×15+30×12+40×15+50×24+60×975=40，
∴这组数据的平均数是40，
∵在这组数据中，50出现了24次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为50，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是40，40+402=40，
∴这组数据的中位数为40；
（Ⅲ）∵在统计的这组学生一周的课外阅读时间数据中，阅读时长不少于40min的人数占20%+32%+12%＝64%，
∴估计该校学生中阅读时长不少于40min的学生人数约为1200×64%＝768（人）．
∴估计该校学生中阅读时长不少于40min的学生人数约为768人．
21．在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E．
（Ⅰ）如图①，若∠D＝36°，求∠ECG 和∠EGC的大小；
（Ⅱ）如图②，若∠E＝∠ECG，F为AO的中点，OA=3，求EG的长．
解：（Ⅰ）如图①，连接OC，则OC＝OA，
∵DE与⊙O相切于点C，
∴DE⊥OC，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠D＝36°，
∴∠COD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠OCA＝∠A=12∠COD＝27°，
∴∠ECG＝∠OCE﹣∠OCA＝90°﹣27°＝63°，
∵FE⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴∠EGC＝∠AGF＝90°﹣∠A＝90°﹣27°＝63°，
∴∠ECG 和∠EGC都等于63°．
（Ⅱ）如图②，连接BC，OC，则OC＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠OCE＝∠AFE＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣∠OCA＝90°﹣∠A＝∠AGF＝∠EGC，
∵∠E＝∠ECG，
∴∠E＝∠ECG＝∠EGC＝60°，
∴△ECG是等边三角形，
∴∠OCA＝∠A＝∠OCE﹣∠ECG＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC＝OB＝OA=3，∠ABC＝60°，
∴ACBC=tan60°=3，
∴AC=3BC=3×3=3，
∵F为AO的中点，
∴AF＝OF=12OA=32，
∴AFAG=32AG=cs30=32，
∴AG＝1，
∴EG＝CG＝AC﹣AG＝3﹣1＝2，
∴EG的长为2．
22．坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道EF全长425m，CD与EF在一条直线上，在隧道正上方的山顶有一信号塔AB，从与E点相距50m的C处分别测得A、B的仰角为（∠ACD）43°、（∠BCD）39°，从与F点相距80m的D处测得A的仰角为45°．设山高BH的高度为h（单位：m）．
（Ⅰ）用含h的式子表示线段EH的长度（结果保留三角函数形式）；
（Ⅱ）求信号塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan43°≈0.93，tan39°≈0.81．
解：根据题意得EF＝425m，∠ACD＝43°，∠BCD＝39°，∠ADH＝45°，CE＝50m，DF＝80m，
（Ⅰ）在Rt△BCH中，∵tan∠BCH=BHCH，
∴CH=htan39°，
∴EH＝CH﹣CE＝（htan39°-50）m，
即线段EH的长度为（htan39°-50）m；
（Ⅱ）在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=AHCH，
∴AH＝CH•tan43°，
∵CH=htan39°，
∴AH=htan43°tan39°，
在Rt△AHD中，∵∠D＝45°，
∴AH＝DH=htan43°tan39°，
∴HF＝DH﹣FD=htan43°tan39°-80，
∵EH+HF＝EF，
∴htan39°-50+htan43°tan39°-80＝425，
即h0.81-50+h×＝425，
解得h≈232.93（m），
∴AH=232.93×≈267.44（m）
∴AB＝AH﹣h≈35（m）．
信号塔AB的高度35m．
23．已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍1km，餐厅离宿舍1.6km，篮球场离宿舍2km．小明从教室出发，先匀速步行10min到达篮球场，在篮球场锻炼了45min，之后匀速步行5min到达餐厅，在餐厅停留20min后，匀速骑行10min返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为 0.16 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤60时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅳ）当小明到达餐厅5min时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚5min到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
解：（Ⅰ）小明从教室到篮球场过程中的速度为（2﹣1）÷10＝0.1（km/min），
则当x＝5时，y＝1+0.1×5＝1.5；
当x＝20时，y＝2；
当x＝75时，y＝1.6．
（Ⅱ）小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为1.6÷（90﹣80）＝0.16（km/min）．
答案：0.16．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当0≤x≤10时，小明的速度为0.1km/min，
∴当0≤x≤10时，y＝0.1x+1，
当10＜x≤55时，y＝2，
∵当55＜x≤60时，小明的速度为（2﹣1.6）÷（60﹣55）＝0.08（km/min），
∴当55＜x≤60时，y＝2﹣0.08（x﹣55）＝﹣0.08x+6.4，
综上，当0≤x≤60时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=0.1x+1(0≤x≤10)2(0＜x≤55)-0.08x+6.4(55＜x≤60)
（Ⅳ）由（Ⅱ）可知，当80≤x≤90时，小明的速度为0.16km/min，
∴当80≤x≤90时，小明离宿舍的距离y与时间x之间的关系式为y＝1.6﹣0.16（x﹣80）＝﹣0.16x+14.4，
当x＝60+5＝65时小华离开餐厅，当x＝90+5＝95时到达宿舍，
则当65≤x≤95时，小华的速度为1.6÷（95﹣65）=475（km/min），
∴当65≤x≤95时，小华离宿舍的距离y与时间x之间的关系式为y＝1.6-475（x﹣65）=-475x+7615，
当二人在回宿舍的途中相遇时，得y=-0.16x+14.4y=-475x+7615，
解得x=87.5y=0.4．
答：小华在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是0.4km．
24．将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0），点D（﹣3，33)，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB＝60°，点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（Ⅰ）如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
（Ⅱ）设BP＝t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S．
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当92≤t≤10时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（1）由折叠的性质可得：
∠BPQ＝∠QPB＝60°，PB'＝PB，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OB'P＝90°﹣∠OPB'＝30°，
在Rt△OPB'中，PB＝2OP，OB'=3OP，
∵OB＝OP+PB＝OP+PB'＝3OP＝6，
∴OP＝2，OB'=3OP＝23，
∴点B'的坐标为：B'（0，23）；
（2）①∵BP＝t，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣t，
由折叠的性质可得：∠B'PQ＝∠QPB＝60°，
PB'＝PB＝t，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OEP＝90°﹣∠OPB'＝30°，在Rt△OPE中，
PE＝2OP＝2（6﹣t）＝12﹣2t，
OE=3OP-3（6﹣t）＝63-3t，
B'E＝PB'﹣PE＝t﹣（12﹣2t）＝3t﹣12
t的取值范围是：5＜t＜6；
②当t=29时，S=12×32×32=338，
当6≤t≤9时，
S＝3×33-32（t﹣6）×3（t﹣6）-32（9﹣t）×3（9﹣t）
=-3（t-152）2+2734
当t=152时，S为最大值2734，
答案：338≤S≤2734．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（Ⅰ）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当BC＝AB时，求b的值；
（Ⅲ）若点D（b﹣2，yD）为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接DN，BM，当DN+BM的最小值为17时，求b的值．
解：（Ⅰ）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+c，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+b+1，
则c＝b+1＝3，
则b＝2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
抛物线的对称轴为：x=-b2a=-22×(-1)=1，
则抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（Ⅱ）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+b+1，则点C（0，b+1），
令y＝0，则x＝﹣1或b+1，即点B（b+1，0），
∵BC＝AB，
则2（b+1）＝b+1+1，
解得：b=2；
（Ⅲ）由（2）知，点B（b+1，0），点C（0，b+1），抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+b+1，
则抛物线的对称轴为直线x=12b，
当x＝b﹣2时，y＝﹣x2+bx+b+1＝3b﹣3，即点D（2，3b﹣3），
作点D关于抛物线对称轴的对称点D′（2，3b﹣3），将点B向右平移MN的长度（12b），则点B′（32b+1，0），
连接B′N，则四边形MNB′B为平行四边形，
则BM＝B′N，
连接B′D′、D′N，
则DN+BM＝N′B+ND′≤B′D′，
当D′、N′、B′共线时，上式等式成立，即DN+BM的最小值为：B′D′＝17，
即（32b+1﹣2）2+（3b﹣3）2＝172，
解得：b=-6215（舍去）或6，
即b＝6．
小明离开宿舍的时间/min
5
10
20
75
小明离宿舍的距离/km
2