抢分秘籍14 函数选填压轴题-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数的图象和性质 【题型二】一次函数与反比例函数
【题型三】反比例函数与特殊四边形 【题型四】几何图形中动点之函数问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。
2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。
：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。
【题型一】二次函数的图象和性质
【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，D．二次函数的最小值是
【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．只有③不正确D．①②③都正确
【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ）
A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是
B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2
C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个
D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则
【题型二】一次函数与反比例函数
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ；
（2）用含k的代数式表示的面积： ．
【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为 ．
【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ．
【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ．
【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1） ．
（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ．
【题型三】反比例函数与特殊四边形
【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个．
【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．
（1） ；
（2）点的横坐标为 ．
【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.
（1）若点是的中点，则 ；
（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 .
【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ．
（1）的值为 ；
（2） 的值为 ．
【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点．
（1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ．
（2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ．
【题型四】几何图形中动点之函数问题
【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ）
A．2B．4C．D．
【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
【题型五】二次函数与其他函数综合问题
【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ．
【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．
（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ；
（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ．
【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ．
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ．
变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ．
变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ．
变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ．
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法：
①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1B．2C．3D．4
变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
x
…
0
…
y
…
4
0
0
4
…
紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。
…
…
…
…
紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。
抓反比例函数点坐标特征（设为(a, k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。
设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。
联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。
求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心：
1. 定象限，判符号：图象在一、三象限⇒k＞0；二、四象限⇒k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。
2. 点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。
3. 含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。
易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。
图像共存易错点拔：
1. 符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。
2. 特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。
3. 对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。
4. 象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。
1.开口方向定a：开口向上⇒a＞0，向下⇒a＜0，勿颠倒。
2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左⇒ab同号，右⇒异号，忌单独看b。
3.与y轴交点定c：交点在正半轴⇒c＞0，负半轴⇒c＜0，过原点⇒c=0，勿与a混淆。
4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1⇒b=-2a，勿算反。
5.判别式与交点数错联：Δ=b²-4ac＞0⇒两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。