抢分秘籍19 二次函数新定义型综合（四大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线 【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题 【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
：二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15%-20%。近年随核心素养考查加重，频率略有上升，各地试卷年均1-2题，常与函数性质、几何综合结合。
2．从题型角度看，以解答题为主（占比超80%），分三类：①新定义概念（如“友好抛物线”），需根据定义求解析式；②新性质探究（如“最值点”关系），需推导规律；③跨知识应用（如结合坐标系定义“距离函数”），综合度高，分步设问（2-3小问）。
：1.强化读题建模：圈画新定义关键词，用示例辅助理解（如通过图像标注“新顶点”）；
2.分阶训练：先练单一知识点新定义（如仅含函数），再攻几何代数综合题；
3.提炼通法：按“理解定义→翻译条件→联立方程/几何关系→验证结果”步骤解题，注意分类讨论与数形结合，积累典型模型（如“对称型”“最值型”新定义）。
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
【例1】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．
(1)写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质；
(2)若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；
(3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．
【例2】（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
【变式1】（23-24九年级上·浙江·期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示） ，顶点坐标为 ．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【变式2】（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
【变式3】（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．
①当时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【变式4】如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如下表：

（1）①补全表格；
②在下图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．
问题探究
（2）①若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；
②若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，求的取值范围．
③已知抛物线：的“共线抛物线”的解析式为．请写出抛物线的“共点抛物线”的解析式．
【变式5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为．
(1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________；
(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为；
④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值．
【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【例1】定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【例2】二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【变式1】定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15 B．16 C．24 D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题
【例1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【例2】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；
(3)二次函数过点，，，则的解析式为______；
如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标；
如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．
【变式1】（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
(1)若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
(2)若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
【例1】（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．
【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值．
②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标．
【变式1】新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、．
①当四边形为正方形时，求：a的值．
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标．
【变式2】（2024·广东东莞·三模）阅读理解
【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）抛物线的“友好抛物线”为____________________；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长．
【变式3】（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．
(1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围；
(3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为．
①若，判断的形状，并说明理由；
②若，求的值；
③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围．
【变式4】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．
问题：
(1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；
(2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
(3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；
(4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当是等腰直角三角形时，求的面积；
②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
1. 明确定义：紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义（如顶点关联、系数对称等），例：若定义为“与原抛物线对称轴相同，开口方向相反”，则设原抛物线为y=a(x-h)2+k，伴随抛物线为y=-a(x-h)2+k。
2. 联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程（如两抛物线交于x轴同一点，代入求解a、h、k）。
3. 分类讨论：若定义含多种情形（如伴随抛物线顶点为原抛物线与y轴交点），需分情况推导，验根时确保符合所有约束条件。
4. 数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系，辅助分析参数取值范围。
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1. 拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征（如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等边三角形等），标注关键条件（边长、角度、对称关系）。
2. 坐标代数化：设二次函数为y = ax² + bx + c，求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表示形状边/角关系（如|AB| = |BC|、kABkBC = -1）。
3. 分类讨论建模：按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程（组）求解（如等腰三角形分顶角在顶点或底边），注意判别式与定义域限制。
4. 图形验证：代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解（如三点共线的三角形），结合图像判断参数合理性。
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（___，___）
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…
1. 吃透双定义：先明确二次函数新定义（如“联动函数”），再分析其他函数（一次/反比例）性质，标注交点、增减性等关联点。
2. 联立方程求解：将两函数解析式联立，转化为一元二次方程（如ax² + bx + c = kx + m），用判别式判断交点个数，或用韦达定理求参数关系。
3. 数形结合分析：画草图观察两函数位置（如二次函数顶点在反比例函数图象上），结合新定义条件（如“最低点纵坐标等于一次函数截距”）列等式。
4. 分类讨论参数：若新定义含参数，分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响，验根时兼顾定义域与实际意义。
1. 译定义条件：将新定义（如“抛物线与三角形构成‘关联图形’”）转化为坐标关系，例：顶点在三角形某边上，或与边交点满足特定距离。
2. 建函数与几何桥梁：用二次函数解析式表示几何图形顶点/交点坐标，结合全等/相似、面积公式等列方程（如用距离公式表示边长相等）。
3. 分情况讨论：按几何图形位置（如顶点在左/右侧）或新定义多情形分类，避免漏解。
4. 验图形逻辑：代入解验证是否符合几何图形完整性（如三角形不共线、抛物线不与边重合），结合图像舍去矛盾解。