山西省大同市天镇县部分学校2025届九年级下学期中考第一次调研数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市天镇县部分学校2025届九年级下学期中考第一次调研数学试卷(含解析)，共20页。
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 年春季新学期开学第一天，大同市的最高气温为，最低气温为，则这一天的温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：，
故选：A．
2. 下面是汾酒集团、大同证券、亚宝药业、山西经济日报四个企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，，，，若，则的度数为
A. B. C. D.
【答案】B
解：∵∠ABC=∠MAN=90°，∠N=30°，
∴∠M=60°，
∵MN∥BA，
∴∠M=∠BAM=60°，
∴∠CAM=∠BAM-∠BAC=60°-45°=15°，
故选：B．
5. 将二次函数化为的形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：
故选：D．
6. 不等式组，的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
解：，
解①得：，
解②得：，
∴．
故选：C．
7. 甲、乙、丙三位同学参加一次活动，他们每人可以从其中一串礼物的最下端取一件（如图），甲第一个取得礼物，然后乙，丙依次取得第2到第3件礼物，那么丙同学取得礼物B的概率是（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】C
解：画树状图如下：

所以，所有的等可能的结果是种，丙取得礼物的情况有种，
所以丙获得礼物的概率为：
故选C．
8. 新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，
根据题意，得．
故选：B．
9. 铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（ ）
A. 时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大
B. 硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度
C. 时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度
D. 当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同
【答案】D
解：A、时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐减小，故该选项不符合题意；
B、时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意；
C、时，硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意；
D、当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同，故该选项符合题意；
故选：D．
10. 如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：如图，连接．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. ______．
【答案】
解：，
故答案为：．
12. 计算：______．
【答案】##
解：
，
故答案为：．
13. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________．
【答案】10
解：设h关于的函数解析式为，
把代入解析式，得，
h关于的函数解析式为，
当时，，
故答案为：10．
14. 如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为_____．
【答案】##35度
解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，点A为直线l外一点，于点B，点P为直线l上一点，不与点B重合，将绕点A逆时针旋转得到，连接并延长，交于点D．若，，则的长为______．
【答案】
解：如图，连接．
由旋转的性质得，．
∴是等边三角形．
∴，，
∵
∴，
∴垂直平分，
∴，
由旋转的性质得，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
∴．
故答案：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
解：（1）原式
．
（2）原式
．
17. 如图，已知，．求证：．
【答案】见详解．
证明：在△ADB和△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键．
18. 今年是春节申遗成功后的第一年，春节申遗也为其他中国非物质文化遗产的推广起到良好的示范效应，有助于加深世界对中国文化的理解和认同．绛州木板年画是山西传统木板年画的代表，某文创商店购进“关公读春秋”和“天官赐福”两种绛州木板年画作品，其进价和售价如下表所示：
若文创商店购进这两种木板年画作品共130张，全部售出后共获利190元，则这两种木板年画作品各购进多少张？
【答案】购进“关公读春秋”木板年画作品60张．“天官赐福”木板年画作品70
解：设购进“关公读春秋”木板年画作品x张、“天官赐福”木板年画作品y张．
由题意，得
解得
答：购进“关公读春秋”木板年画作品60张．“天官赐福”木板年画作品70张．
19. 中华人民共和国国务院令（第790号）要求：《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行．某校为落实这一条例，举办了“守护青春，网络有你”网络安全知识竞赛活动，现随机抽取七年级20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该组数据的中位数是______分，众数是______分；
（2）请计算这组数据的平均数，并回答（1）中的两个统计量，哪个更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”；
（3）若该校七年级共有180名学生参加了本次竞赛，估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有多少名．
【答案】（1）75；80
（2）分；中位数
（3）90名
【小问1详解】
解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80．
故答案为：75，80．
【小问2详解】
解：∵这组数据的平均数为：（分）．
∴中位数更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有90名．
20. 太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原市的标志性建筑之一．某校实践小组的同学把“测量舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．
求舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】
解：如图，过点P作于点D，过点A作于点E，
则，
，
在中．，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
∴，．
在中、．
∴．
∴．
∴．
答：舍利塔的高度约为．
21. 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）上述材料证明过程中“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______；
依据2：______．
（2）数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．
如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．
（3）如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．
【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）见解析 （3）2
【小问1详解】
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【小问2详解】
证明：如图，延长到点F．使．连接，．
∵点E为的中点．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵．
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长到点N，使，连接，．
∵点M是的中点，
∴．
又∵．
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∵四边形和四边形都是正方形
∴，．．
∴，．
∴．
∴，
∴．
∴．
22. 综合与实践
问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．
建模分析：
第一步：根据实心球运动路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；
第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表：
第四步：成绩分析．
问题解决：
（1）求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求实心球起点处的坐标；
（3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．
【答案】（1）
（2）
（3）不得满分
【小问1详解】
解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点．
设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
将代入，得．
解得．
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，．
∴实心球起点处的坐标为；
【小问3详解】
解：令，则，
解得（不合题意，舍去）．
∵，
小宇在此次掷球中不得满分．
23. 综合与探究
在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动．
实践操作：
如图，在矩形纸片中，，
第一步：如图1，将矩形纸片沿 过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， 然后把纸片展平．
第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点恰好落在上 的点处，分别与交于点， 然后展平． 问题解决：
（1）求的长．
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，延长相交于点， 请直接写出的长．
【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）
解：（1）四边形是矩形，
由折叠，可得．
设． 则．
在中，，
在中，，
即．
解得．
（2）． 理由：
由第一步折叠，可得垂直平分．
由第二步折叠，可得．
在和中
（3）解：四边形是矩形，
，
如图，连接．
垂直平分．
由（2）得．
四边形是菱形．
在中．关公读春秋
天官赐福
进价/（元/张）
23
34
售价/（元/张）
25
35
课题
测量舍利塔的高度
调查方式
资料查阅、实地测量
调查内容
目的
测量舍利塔的高度
工具
无人机、测角仪、皮尺等
测量示意图及相关数据
如图，将无人机悬停在距离水平地面的点P处，测得塔顶A处的俯角为，同时测得地面标记点C的俯角为，点P，A，B，C在同一竖直平面内，于点B，标记点C与塔底的距离为．
计算结果
……
展示交流
……
三角形中位线定理的证明
如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且．
证明：如图2，延长到点F，使，连接．
∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵，
∴四边形是平行四边形．（依据1）
∴，．∴，．
∴四边形是平行四边形．（依据2）
∴，．又∵，∴．
归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
1
2
4
6
7
2.25
2.67
3
2.67
2.25