2025年安徽省高考数学试卷

这是一份2025年安徽省高考数学试卷试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）的虚部为
A．B．0C．1D．6
2．（5分）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，则中元素个数为
A．2B．3C．5D．8
3．（5分）若双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为
A．B．2C．D．
4．（5分）若点，是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为
A．B．C．D．
5．（5分）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则
A．B．C．D．
6．（5分）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风为
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
7．（5分）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．（5分）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正三棱柱中，为中点，则
A．B．平面C．平面D．
（多选）10．（6分）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过作的垂线交于，过且垂直于的直线交于，则
A．B．C．D．
（多选）11．（6分）已知△的面积为，若，，则
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（5分）若直线是曲线的切线，则 ．
13．（5分）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ．
14．（5分）一个箱子里有5个球，分别以标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：
16．（15分）设数列满足，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求．
17．（15分）如图所示的四棱锥中，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．
证明：在平面上；
求直线与直线所成角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，椭圆下顶点为，右顶点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点不在轴上，在射线上，且满足．
设，求的坐标（用，表示）；
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值．
19．（17分）设函数．
（1）求在，的最大值；
（2）给定，为给定实数，证明：存在，，使得；
（3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值．
2025年安徽省高考数学试卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）的虚部为
A．B．0C．1D．6
【分析】根据复数乘法直接运算确定虚部即可．
【解答】解：令，则，
所以的虚部为1．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，则中元素个数为
A．2B．3C．5D．8
【分析】根据题意直接写出即可确定其元素个数．
【解答】解：根据题意，，4，6，7，，
所以的元素个数为5．
故选：．
【点评】本题主要考补集运算，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题．
3．（5分）若双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为
A．B．2C．D．
【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解．
【解答】解：根据题意可得，
所以，
所以双曲线的离心率为．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
4．（5分）若点，是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】根据正切函数的对称中心可得的表达式，再由可得的最小值．
【解答】解：由已知，，，所以，，
因为，所以取时，得的最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查正切函数的图象与性质，属于中档题．
5．（5分）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则
A．B．C．D．
【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：根据题意可得．
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，属基础题．
6．（5分）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风为
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
【分析】根据题意，求出对应速度对应的坐标，然后求出真风速的坐标，求出模长判断即可．
【解答】解：如图：视风风速对应向量的坐标为，
船速对应向量的坐标为，
所以船行风速对应的向量坐标为，
设真风风速对应向量为，则，
所以，
所以，
故真风为轻风．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的运算和应用，属于中档题．
7．（5分）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到的范围．
【解答】解：圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，
可得，即．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
8．（5分）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是
A．B．C．D．
【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可．
【解答】解：令，则，
可得，，
所以．可能正确；
当时，，，所以，所以可能正确；
时，，此时，满足，所以可能正确．
故选：．
【点评】本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正三棱柱中，为中点，则
A．B．平面C．平面D．
【分析】对于，通过，可以得出与不垂直；对于，，，从而平面；对于，由，得平面；对于，由，，得与不平行．
【解答】解：在正三棱柱中，为中点，
对于，取中点，连接，，
因为，，所以与不垂直，即与不垂直，故错误；
对于，，，，
平面，故正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，，，
与不平行，故错误．
故选：．
【点评】本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行、线线平行的判定与性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
（多选）10．（6分）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过作的垂线交于，过且垂直于的直线交于，则
A．B．C．D．
【分析】由抛物线的定义可判断；当直线轴时，可判断；由通径最短，可判断；当直线轴时，可判断成立，再利用三角形的面积判断时，也成立．
【解答】解：由题意可得，
由抛物线的定义知，所以正确；
由通径最短，可得，所以正确；
设，，，，，
由，
消可得，
，，
所以，
所以，
当时，，，，
此时，，所以不正确；
此时，
当时，，，
则，
所以，
，
综上，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的定义及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知△的面积为，若，，则
A．B．
C．D．
【分析】由，利用二倍角公式，可判断；由，得，对于，和进行分类讨论，可推出矛盾，可得，进而可判断．
【解答】解：因为，
，故正确；
由，，
，，为锐角，
若，则，
，，，矛盾，舍去，
同理，也矛盾，
，，，
，，
，，
，，
，
，即，故正确；
，，，
因为，所以，故正确；
，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查解三角形，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（5分）若直线是曲线的切线，则 4 ．
【分析】根据题意，令，求出的值即可确定切点坐标，进一步将切点坐标代入曲线中即可确定值．
【解答】解：根据题意，，令，则，
在切线中，当时，，
所以切点坐标为，
将代入曲线中，得，解得．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查导数与切线方程，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
13．（5分）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 2 ．
【分析】根据等比数列的性质，建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可得，，
所以，
解得舍）．
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的性质，属基础题．
14．（5分）一个箱子里有5个球，分别以标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数，则 ．
【分析】的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，由离散型随机变量的数学期望公式求解即可．
【解答】解：的可能取值为1，2，3，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：
【分析】（1）由样本估计总体和古典概型的概率求法即可求得；
（2）由独立性检验知识即可求解．
【解答】解：（1）由题知，样本中超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，
由样本估计总体可得超声波检查结果不正常者患该疾病的概率；
（2）零假设为：超声波检查结果与患该疾病无关．
代入列联表中的数据可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，
该推断犯错误的概率不超过0.001．
【点评】本题考查古典概型的概率求解，独立性检验的应用，属于中档题．
16．（15分）设数列满足，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求．
【分析】（1）将条件式两边同时乘以后移项即可证得；
（2）由（1）得，对函数求导后赋值可得的形式，由错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列；
（2）由（1）知，，
因为，
所以，
所以，①
，②
①②得：
，
所以，．
【点评】本题考查等差数列的概念，错位相减法求和，导数的运算，属于中档题．
17．（15分）如图所示的四棱锥中，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．
证明：在平面上；
求直线与直线所成角的余弦值．
【分析】（1）由平面得，结合题意，可得平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，设球心，，，半径，利用空间中两点的距离公式建立方程组，解方程组可得点坐标和，进而可得结论；
利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：平面，平面，
，
，，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）证明：由题意，，，两两垂直，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设球心，，，半径，
则，即，解得，
，1，，平面．
由得，，
设直线与直线所成角为，
则．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查异面直角所成的角的余弦值，考查空间几何体的外接球的确定，是中档题．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，椭圆下顶点为，右顶点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点不在轴上，在射线上，且满足．
设，求的坐标（用，表示）；
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值．
【分析】（1）由，，，，，列方程组求出，即可；
（2）设点，，由题意列方程组求解可得的坐标；
求出直线的斜率，直线的斜率，由，得出点的轨迹为圆，又为椭圆上一点，计算的最大值为点到圆心的距离半径，由此求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，，，所以，所以；
又因为，所以，所以，所以；
所以，，椭圆；
（2）设点，，由题意知，，；
则，
解得，
所以点的坐标为，；
直线的斜率为，直线的斜率为，
若，则，即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，又为椭圆上一点，
设，所以的最大值为，
因为，所以时，取得最大值为．
【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
19．（17分）设函数．
（1）求在，的最大值；
（2）给定，为给定实数，证明：存在，，使得；
（3）若存在，使得对任意，都有，求的最小值．
【分析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后综合求解函数的最值．
（2）若，推出，若，不妨，，通过①，②，③，分别证明存在，，使得．
（3）构造函数，利用导数推出，，
显然，结合函数的性质，推出，即可推出结果．
【解答】（1）解：由已知得：
，
因为，所以，，
所以，故只需判断的符号即可，由，解得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以；
（2）证明：若，则，
若，不妨，，
①若，则；
②若，此时，所以，
令，可知存在，，使得；
③若，此时，所以，
令，可知存在，，使得；
综上，存在，，使得，证毕．
（3）解：令，，
由于周期为，不妨设，，，，
因为连续且处处可导，所以最大值在根值点处取得，
令，，所以或，
所以或，
当时，，
当，，
所以，，
显然，
取值情况最多有6种，相当于图象上以为起点，横坐标以为跨度，往后总共取6个点，
由图象可知，时，取最小值，
所以，所以，
此时恒成立，且时取等号，所以的最小值为．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性研究函数的最值的求法，是难题、
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/10 17:55:25；用户：测试账号；邮箱：[email protected]；学号：40923476等级
风速大小
名称
2
轻风
3
微风
4
和风
5
劲风
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
B
A
A
B
B
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABC
等级
风速大小
名称
2
轻风
3
微风
4
和风
5
劲风
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828