云南省腾冲市第五中学2025届高三模拟预测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设函数的图象在处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
4．已知a，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
6．已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻．”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器．如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶．当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100．已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（ ）

A．88B．84C．78D．72
二、多选题
9．设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是（ ）
A．B．C．D．
10．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（ ）
A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
B．此人到达当日空气质量优良的概率为
C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
11．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的周长为3
C．不可能是直角D．当时，的面积为
三、填空题
12．已知集合，，则 ， .
13．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 .
14．已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数.
（Ⅰ）若，求在上的最小值；
（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求的取值范围.
16．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
17．如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，的面积为，在棱上确定一点，求使得直线与平面所成角的正弦值为时的长.
18．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角．
19．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)解不等式.
参考答案
1．【答案】B
【详解】若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列，比如
所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.
故选B.
2．【答案】C
【详解】由题可知：
又，所以
故选C
3．【答案】B
【详解】因为，所以的方程为，
即,令，解得,则在轴上的截距为.
故选B
4．【答案】A
【详解】解：若，因为，所以，即充分性成立；
由推不出，如，，满足，
此时，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选A
5．【答案】C
【详解】函数y=|x|sin2x在[﹣π，π]是奇函数，故排除B，
x＞0时，y=xsin2x，
x∈（0，）时，y＞0，x∈（，π）时，y＜0，结合对称性，
故选C．
6．【答案】C
【详解】由题意，得，
因为，所以，当且仅当时取等号，
又由同角的平方和为1，所以．
故选C．
7．【答案】C
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由根据题意可知:最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，
设最上层漏水壶的口径与底径分别为，高为，
则体积为,
当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，
设此时浮箭刻度为，
因为已漏下去的水组成以上下口径为，高为的圆台，
体积为，
可得，解得，
故选:B.
9．【答案】BC
【详解】对选项A，，，，
故A错误.
对选项B，，，，
故B正确.
对选项C，，，，故C正确.
对选项D，，，
，
故D错误.
故选BC
10．【答案】AD
【详解】A.，故正确；
B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故不正确；
C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是，，，共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故不正确；
D.空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确.
故选AD.
11．【答案】AD
【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由.
所以椭圆的离心率，故A正确；
根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；
如图：
取为椭圆的上顶点，则,
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
如图：
当时，设，，
则，
所以，故D正确.
故选AD
12．【答案】
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
13．【答案】0，
【详解】由于，所以，
由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根，
所以的图象呈先增，再减，再增的趋势，
所以其中一个极值点就是零点，假设，
即是极值点又是零点，如下图：
则，此时的极大值刚好为，
即是极值点又是零点，如下图：
则，即，
设为极大值点，则，即，
显然，则，
整理得，又，所以；
此时的极大值为，
14．【答案】
【详解】解：因为，且其定义域为，故是奇函数：
又，故在上单调递增．
故，
也即
故可得，即，
，
解得．
15．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】解：（Ⅰ）时，，则,
令，得.
列表：
在区间（－1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增.
所以，当时，最小值为.
（Ⅱ）由已知.
当时，，函数为减函数，
在区间上的最大值为＝－4，不符合题意.
当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意.
当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.
所以，在区间上的最大值为，
依题意，令，解得，符合题意.
综上，a的取值范围是.
16．【答案】y与x之间的线性相关程度非常强，
【详解】由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，，
故y关于x的线性回归方程为.
17．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，
所以，∵平面，
所以，，
故平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：设，则，得.
在菱形中，由，，
可得，，
过作直线平面，以为原点，直线为轴，
直线为轴，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
，
设，（）
∴；
设平面的一个法向量为，则有
即，
得，
∴，
解得，或（舍去）.
∴，
得的长为.
18．【答案】P在北东方向
【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意，
∴在以为焦点的双曲线的右支上．
其中，其方程为，
又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：，
由方程组解得，即.
由于，可知在北东方向．

19．【答案】(1)，．
(2)在上为减函数,证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式.
（2）根据单调性的定义可得在上为减函数；
（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为．A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
2.5
3
4
4.5
x
－1
0
（0，1）
1
－7
－
0
＋
1
－1
单调递减
－4
单调递增
－3