初中数学北京课改版八年级下册特殊的平行四边形的性质与判定达标测试

这是一份初中数学北京课改版八年级下册特殊的平行四边形的性质与判定达标测试，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（ ）
A．B．2C．D．1
2．下列性质中是矩形和菱形共有的性质是（ ）．
A．相邻两角都互补B．相邻两边都相等
C．对角线是对称轴D．对角线垂直且相等
3．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（ ）
A．12B．11C．10D．13
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直且相等
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形
C．有一组对角互补的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形
6．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是（ ）
A．105度B．112.5度C．120度D．135度
8．如图，已知，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线，分别交，于点E，D，连接；③过C作交于点F，连接．则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
9．如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C之间的距离是（ ）
A．0.8kmB．1.6kmC．2.0kmD．3.2km
二、填空题
13．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．

14．木工师傅做一个宽，高的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为 ．
15．，．
（1）如图①，若，则 °；
（2）如图①，若，，则 ；
（3）如图②，是边上的中线，若，则 ；
（4）如图③，于点，若，，则的长为 ．
16．如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则 ；若的面积等于1，则的值是 ．
17．如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12．当BD＝ 时，□ABCD是菱形．
三、解答题
18．如图，在四边形中，平分．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)过点作，交的延长线于点，若
①求菱形的面积．
②求四边形的周长．
19．将一长方形纸片按图的方式折叠，BC，BD为折痕，则的度数为多少？
20．（2017•重庆模拟）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN．
21．图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
(1)填空：______，点的坐标是（______，______）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
①当时，的面积是______．
②在点，运动过程中，当时请直接写出此时的值______．
22．如图，在中，为对角线，于点，交于点，交于点，连接，．请你探究当点满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并证明.
24．综合与实践
如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．
(1)与的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．
《15.4特殊的平行四边形的性质与判定》参考答案
1．D
【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案.
【详解】解： 矩形纸片ABCD，


由折叠可得：

同理：

故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.
2．A
【详解】试题分析：根据矩形、菱形的性质依次分析各项即可判断．
矩形相邻两角都互补，对角线相等；菱形相邻两角都互补，相邻两边都相等，对角线是对称轴，对角线垂直；则矩形和菱形共有的性质是相邻两角都互补，
故选A.
考点：本题考查的是矩形、菱形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质，注意性质中的异同点．
3．D
【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC=（cm），
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD=（cm），
所以菱形的边长=（cm）．
故选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
4．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键．
【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
又，，
．
即，故②正确；
③过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故③错误；
④，，
在中，，
，故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
7．B
【分析】由AC是正方形的对角线，可得AC平分∠BCD，∠ACD=∠ACB=45°，由∠DCE=∠BCD=90°，可求∠ACE=135°，由AC=CE，可求∠E=，利用三角形外角∠AFC=112.5°．
【详解】解：∵AC是正方形的对角线，
∴AC平分∠BCD，且∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+90°=135°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE=，
∴∠AFC=∠FDE+∠E=90°+22.5°=112.5°．
故选择B．
【点睛】本题考查正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质是解题关键．
8．C
【分析】先根据作图①得直线是线段的垂直平分线，从而得到，，根据作图③得到，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，结合即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：由作图①得直线是线段的垂直平分线，
∴，，
由作图③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟知菱形的判定定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
为直角三角形，
则，
又于点，于点，
四边形为矩形，
，
当时，最小，即此时有最小值，
，
即，
，
故选：C
10．D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
11．B
【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴点A与点C关于BD对称，
连接AE交BD于点P，连接PC，
则PE＋PC＝PA＋PC＝AE，
∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，
∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，
∴BE＝1，AB＝2，
过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠EBG＝60°，
∴BG＝，EG＝，
在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，
∴AE＝，
∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，
∴△PCE的周长的最小值为＋1，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．
12．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，代入求出即可．
【详解】∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=3.2km，
∴CM=1.6km，
故选：B．
【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB是解题的关键．
13．1
【分析】过点作于，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据角平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，设，，根据勾股定理求得，推得，即可求得，即可求解．
【详解】解：过点作于，

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵、的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为正方形，
设，则，
在中，，
∴，
，
∴，
即，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理，解题关键在于作辅助线，利用角平分线的性质判断线段相等．
14．
【分析】矩形定形后，分成两个直角三角形，根据勾股定理求此木条的长即可．
【详解】解：由勾股定理，得此木条的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题关键是熟记勾股定理．
15． 70 12 10 9.6
【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答．
（2）运用勾股定理列式计算，即可作答．
（3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答．
（4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答．
本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴
故答案为：70；
（2）∵
∴，
故答案为：12
（3）∵，是边上的中线，
∴
∴
故答案为：10；
（4）∵，，
∴
∵于点
∴
则
∴
则的长为
故答案为：
16． 60
【分析】由正方形的性质证明，即可得到，再由可得，即可求出．设，表示出的面积，解方程即可．
【详解】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
设
∴
∴
∵的面积等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案为：60；．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．16
【解析】略
18．(1)见解析
(2)①，②
【分析】(1)根据平行线的性质可知角相等，再根据角相等即可求得边平行且相等，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求得结论；
(2) ①根据余角的性质可知角相等，再根据勾股定理求出，最后根据面积关系求出四边形的面积；②根据①的结果直角求出四边形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形 是菱形．
（2）解：①∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
② ∵，，，
∴四边形的周长：，
【点睛】本题考查了菱形的判定性质，余角的性质，勾股定理，正确运用菱形判定和性质是解题的关键．
19．90°
【分析】根据折叠的性质得到∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，再根据平角的定义有∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，易得∠A′BC+∠E′BD=180°×=90°，则∠CBD=90°．
【详解】因为一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
所以∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，
所以∠A′BC+∠E′BD=180°×=90°，
即∠CBD=90°．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．
20．（1）8 ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：
（1）由已知条件先证：∠ACP=∠APC=67.5°，可得AP=AC=，再由S△ACP=APCD计算即可；
（2）由已知条件先证：△PDC≌△FBC，可得：CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，证△AMB≌△BHC可得：BM=HC，由此可得CF=CH+HF=BM+2FN，从而可得结论.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，CF平分∠ACB，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4，
∴AP=4，
∴S△APC=AP•CD=；
（2）∵在△PDC和△FBC中： ，
∴△PDC≌△FBC，
∴CP=CF.
在CN上截取NH=FN，连接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH，
∴BH=BF，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠1=∠5=22.5°，
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°，
∴∠HBC=∠BAM=45°，
在△AMB和△BHC中：，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM，
∴CF=BM+FH=BM+2FN，
∴CP=BM+2FN．
21．(1)-3，8，6
(2)见解析
(3)①9②或
【分析】（1）代入C点坐标求出k的值，再根据线段平行于轴，交直线于点，得出D点的纵坐标为6，代入反比例函数解析式求解即可；
（2）先通过点的坐标求出OA=CD，再根据题意得出，即可证明；
（3）①作CH⊥OD与H，设H的坐标为，由勾股定理得，算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可求解；
②先确定四边形CPAQ是矩形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算即可．
【详解】（1）直线经过点，
，
，
线段平行于轴，交直线于点，
D点的纵坐标为6，
，
，
点的坐标是，
故答案为：，8，6；
（2）由（1）知，点的坐标为，
∵直线与轴交于点A，
∴点A的坐标为，
∵点的坐标为，
，
∴，
又∵线段平行于轴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）①作CH⊥OD与H，
点在直线上，
设H的坐标为，
，
由勾股定理得，，
即，
解得或8（舍去），
，
，
时，，
，
故答案为：9；
②由（2）知，四边形是平行四边形，
OD与AC互相平分，
又点P、Q的运动速度相同，
PQ与AC互相平分，
四边形CPAQ是平行四边形，
当时，
四边形CPAQ是矩形，
，
当时，，
当时，，
当P、Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，点，运动过程中，当时，t的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．当点是的中点时，四边形是菱形．理由见解析.
【分析】当O是AC的中点时，四边形AFCE是菱形；根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据全等三角形的判定和性质求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：当点是的中点时，四边形是菱形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型．
23．四边形AECF为菱形；证明见解析.
【分析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，由O是AC中点可得AO=CO，利用AAS可证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，根据中垂线的性质可得AF=CF，AE=CE，进而可证明AF=CF=AE=CE，即可得四边形AECF为菱形.
【详解】四边形AECF为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形AECF为菱形.
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质及菱形的判定，熟练掌握判定定理及性质是解题关键.
24．(1)；
(2)，理由见解析；
(3)是等腰三角形理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质和，证，进而得到直接．
（2）方法一：过点作于点，于点，再根据正方形到的性质证明即可解答．
方法二：利用正方形的性质证出，再证，进而根据等角对等边得．
（3）利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】（1）解：；
证明：∵四边形是正方形
∴∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOB=90°
∵
∴∠AOE=∠BOF
∴（ASA）
（2）解：方法一：
，理由如下：
过点作于点，于点
∵四边形是正方形∴，，平分，
∴，
∵，∴
∴
∵∴
∴
在和中，
∴
∴．
在和中，
∴∴
∴
方法二：，理由如下：
在正方形中，，，平分
∴
在和中，
∴
在四边形中，，
∵
∴
∴
∴
（3）解：是等腰三角形理由如下：
在中，点是的中点，∴
在中，点是的中点，∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，数量掌握相关知识是解本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
A
B
B
C
C
D
题号
11
12








答案
B
B