北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 尖子生练习题（含答案解析）

这是一份北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 尖子生练习题（含答案解析），共25页。试卷主要包含了如图1，，过点F作，如图，在和中，，，阅读下列材料，如图1，已知点是外一点，连接，等内容，欢迎下载使用。
1．如图1，，过点F作．
(1)可得：与，之间的数量关系是 ．
(2) ．
(3)利用上面的发现，解决下列问题：
如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数．
2．如图，在和中，，．是中点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3．如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动．
(1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________
(2)在（1）的条件下，请说明．
(3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？
4．阅读下列材料：如图，，分别在上，点在之间，连接．
(1)如图1，若，；求出的度数；
(2)如图2，用等式表示三个角的关系，并说明理由．
(3)如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由．
5．如图，直线，点在直线的上方，连接、，过点作．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点作，交的延长线于点，求和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线，交于点，连接并延长至点，延长交于点，过点作交于点，若平分，求的值．
6．如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，且，的平分线交于点，交于点，点在上，连接，．
(1)求证：；
(2)过点作交于点，若，，求证：．
7．如图1，已知点是外一点，连接，．
(1)已知，求的度数．
(2)如图2，已知，试说明：．
(3)如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求．
8．某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．

(1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简．
(2)当时，求“T”型花画的面积．
9．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：
．例如：．
(1)若是一个完全平方式，求常数的值；
(2)若，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积．
10．已知是一条折线段，且，为平行线间的一点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：；
(3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系．
11．小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上．
小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小嘉：小兴，你的作法有问题．
小兴：哦……我明白了！
(1)给出小嘉作法中的证明．
(2)指出小兴作法中存在的问题．
12．数学兴趣小组开展综合实践活动，在同一平面内，，一个三角板的顶点放在上（，，），再按不同位置摆放．由此抽象出下列几何图形，并设计相关问题，请你帮忙解答．
【初步感知】
（1）如图1，交于点，若，请直接写出的度数________；
【观察发现】
（2）如图2，交于点，求证：；
【综合应用】
（3）如图3．三角形顶点，在平行线，的内部，在上取点，连接，与均为钝角，过点作平行于的直线与过点作的垂线交于点．若，，求的度数．
13．如图1，已知点在直线外，利用如下方法也可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，连接，则．
(1)如何说明这种作法的道理？
(2)如图2，连接，若，求的周长．
14．已知直线分别交直线，直线于点，点，射线平分，射线平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)点为射线上一动点，从点出发，运动到，，三点共线时停止，的角平分线为，的角平分线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②试探究与的数量关系，并说明理由．
15．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)360
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，准确识图、灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）由已知得，根据平行线的性质得，再根据角的和差以及等量代换即可解答；
（2）先由得，再根据角的和差即可解答；
（3）设，则，由（1）的结论得，进而得，据此可得∠EMG的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即：．
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴，即．
故答案为：360．
（3）解：∵平分，平分，
∴，
设，
∴，
由（1）的结论得：，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
（1）先证明，即可证明；
（2）由，得到，由E是中点，得到，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，，
∴
∵E是中点，
∴．
3．(1)3；3
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了等腰三角形的性质．
(1)根据Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后，可得；；
(2)先用t表示出，当时，，，再根据等腰三角形的性质得到，于是可根据“”判断；
(3)设点Q的运动速度为，则，由于，则当，时，根据“”可判断，即，；当，时，根据“”可判断．即，，然后分别解方程可得到的值．
【详解】（1）解：Q点运动的速度与点相同，且点，Q同时出发，经过1秒钟后，；；
故答案为：3，3；
（2）证明：由题意得：，
；
当时，，，，
点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：设点Q的运动速度，则，
，
当，时，，
即，，
解得，（舍去）；
当，时，，
即，，
解得，，
综上所述，当点的运动速度为时，能够使与全等．
4．(1)
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，求出，得到；
（2），理由如下，过点作，得到，得出；
（3）由（2）中的结论得，根据角平分线的定义得到，推出．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
如图，过点作，
，
，
，
；
（3）解：，证明如下：
由（2）同理可得，
与的平分线交于点，
，
．
即：．
5．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，角平分线的定义，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）证明出，求出，进而求解即可；
（2）得出，结合，得到，进而求解即可；
（3）由平行线得到，，由角平分线得到，，然后结合求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
．
（2）解：（其他形式正确也可），理由如下：
，
，
由（1）知：，
，
，
，
即．
（3）解：，
，
，
，，
，
又，
，
平分，平分，
，，
，
由（2）可得：，
，
，
，
的值为．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意，得到，结合角平分线，得到，从而有，证得；
（2）根据角平分线性质得出，求出，根据平行线的性质先得出，再得出即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，
，平分，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由三角形内角和即可求解；
（2）过点C作，则有；再结合得，从而有，而，由此即可得出结论；
（3）由角平分线的条件得：，；过点E作，则；结合有，则有，由即可求解．
【详解】（1）解：由三角形内角和知：，
∴；
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
8．(1)
(2)“”型区域的面积是平方米
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积；
（1）根据图形及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解即可．
【详解】（1）解： “”型区域的面积为：
．
（2）解：当，时，
(平方米)
答：“”型区域的面积是平方米．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．
（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出；
（2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出；
（3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．
【详解】（1）解：，
，
，
是完全平方式，
，
；
（2）
，
去括号得：，
合并同类项得：，
，
，
，
，
解得：；
（3），，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为：，
，，
阴影部分的面积为：．
10．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答；
（3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，
，，
，，
，
；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，，
，
；
（3）解：当点在点左边时，如图，
，，平分，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，即；
当点在点右边时，如图，
，，
平分，
，
，
，即，
综上，或．
11．(1)见解析
(2)点F的位置不唯一确定，因此不能确定
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）可利用证明，得到；
（2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，即不能证明三角形全等．
【详解】（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，因此不能确定．
12．（1）；（2）证明过程见解析部分；（3）．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）由，得到，结合图形，得到结果；
（2）根据题意，作，由平行线性质，得到，结合已知条件，得到结果；
（3）根据题意，结合图形，由平行线性质，分别得到，，结合已知条件，，得到结果．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点作，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：如图3，延长交于点，设，
,
，
，
，
，
，
过点作，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，尺规作图一个角等于已知角，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定即可说理；
（2）由上可得，，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图2：由作图可得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由作图可得：，，
∴的周长为．
14．(1)详见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出及是解题的关键．
（1）由射线平分，射线平分，得，，由，得，则；
（2）①设直线交射线于点，则，所以，而，所以，则，即可根据四边形的内角和等于求得；
②作，则，，所以，同理，而，且，所以．
【详解】（1）证明：射线平分，射线平分，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图2，设直线交射线于点，则，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
的度数是．
②解：．
理由：如图3，作，则，
，，
，
同理，
，，
，
，
．
15．（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．