福建省三明北附实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题【含答案】

这是一份福建省三明北附实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题【含答案】，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．0.5B．0.35C．0.25D．0.17
3．二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．144种
6．某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．121B．122C．D．
8．已知随机变量，则（ ）
A．4.8B．5.8C．9.6D．10.6
二、多选题
9．下列运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
三、填空题
12．在的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答）
13．设随机变量服从正态分布，若，则 .
14．已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为 ．
四、解答题
15．已知是函数的一个极值点.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值.
16．已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
17．有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
18．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列；
(2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果）
19．已知函数（，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】函数的导函数为，且满足，，把代入可得，解得，
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据条件概率公式结合题意直接求解即可.
【详解】因为，
所以．
故选：C.
3．【答案】B
【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为
，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由的定义域为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选B.
5．【答案】C
【详解】由题意可得，
故选C.
6．【答案】D
【详解】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，
则，所以.
故选D.
7．【答案】C
【详解】令，得；
令，得，
两式相加得
所以.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为随机变量，方差，
所以.
故选C.
9．【答案】BC
【分析】根据复合函数的导数运算性质，结合常见函数的导数公式逐一判断即可.
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：因为，故D错误.
故选BC.
10．【答案】BD
【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；
对于，故B正确；
对于
，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选BD.
11．【答案】BD
【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为随机变量满足，，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故C错误；
对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，
所以，所以，故D正确.
故选BD.
12．【答案】330
【详解】展开式中含有项的系数为
.
13．【答案】4
【详解】因为正态分布曲线以为对称轴，又，
由正态分布的对称性可知.
14．【答案】
【详解】因为，
所以，，
所以切线方程为：，即.
15．【答案】(1)减区间为，增区间为
(2)76
【详解】（1），是函数的一个极值点
， ，
，
令，解得或；令，解得.
所以函数的减区间为，增区间为.
（2）由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
函数在的极大值为，又，
函数在区间上的最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设＝“被挑出的是第i箱”，
＝“第i次取出的零件是一等品”，
则，
因为，，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是．
（2）由（1）得，
因为，
所以
，
所以．
故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为．
18．【答案】(1)分布列见解析
(2)
【详解】（1）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，则的可能取值为、、，
所以，，
，所以的分布列为：
（2）解：依题意可得，所以，即.
19．【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为
(2)
【详解】（1）
①当时，恒成立，函数的递增区间为．
②当时，令，解得或．
所以函数的递增区间为，递减区间为．
（2）对任意的，使恒成立，只需对任意的，．
①当时，在上是增函数，所以只需，
而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可,而，从而不满足题意；
综上可知，实数的取值范围为．
-2
1
3
男
女
支持方案一
支持方案二
0
单调递减
单调递增