【知识梳理】清单01整式的乘除(学生版+解析)-2025年七年级数学下学期期末总复习(北师大版)

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清单01 幂运算
1：幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
2：幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(m,n都为正整数
3：积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（m,n为正整数）
4：幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
5.零指数
a0=1 (a≠0)
6.负整数指数幂
a-1= (a≠0)
7.科学计数法
有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法．
清单02 整式的乘除
1.单项式乘单项式法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4.单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5.多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
清单03 乘法公式
1.平方差公式
（1）平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
（2）平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2
2.完全平方公式
（1）完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
（2）拓展、补充公式

；；
；.
【考点题型一】同底数幂的乘法运算（）
【例1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算a2⋅a3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．a2D．a3
【变式1-1】（2021·浙江丽水·中考真题）化简−a2⋅a4的结果是（ ）
A．a8B．−a6C．−a8D．a6
【变式1-2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）若am=6，an=3，则am+n的值为（ ）
A．9B．18C．2D．3
【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知：2m+3n=6，则4m×8n= ．
【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（）
【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知10m=3，10n=2，则102 m+n=（ ）
A．12B．18C．20D．24
【变式2-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知a2bnm=a4b6，则n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．6
【变式2-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算−2a3b2的结果是（ ）
A．4a6b2B．−4a5b3C．−2a6b2D．2a5b3
【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>c>a
【考点题型三】同底数幂的除法运算（）
【例3】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算a12÷a6的结果为（ ）
A．a8B．a6C．a4D．a2
【变式3-1】（24-25八年级上·天津河北·期末）已知 ax=3,ay=2，则a2x−3y=（ ）
A．34B．1C．23D．98
【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知2x−3y−4=0，则4x÷8y= ．
【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（）
【例4】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）计算：−32−π−20240+13−1．
【变式4-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：−12a2b2的结果为 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算：2−2+−130= ．
【变式4-3】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算：−12024×−12−2−π−20−−2
【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（）
【例5】（24-25八年级上·广东广州·期末）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为0.00000078米，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为（ ）
A．7B．6C．−7D．−6
【变式5-1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m．数据“0.00000002m”用科学记数法表示为（ ）
A．2×10−8mB．0.2×10−8mC．0.2×10−7mD．2×10−7m
【变式5-2】（24-25八年级上·山西朔州·期末）大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．某高校团队在其设计的自动驾驶组件中，有一个直径为0.0005m的电子元件．将数据“0.0005”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10−2B．0.5×10−3C．5×10−3D．5×10−4
【变式5-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为0.000029 m，将数据0.000029用科学记数法表示为__________．
【考点题型六】整式的乘法（）
【例6】（24-25八年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)2y2x+y； (2)x−2x+3．
【变式6-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若x+53x−m的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．3B．5C．8D．15
【变式6-2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知P=x−1x−4，Q=x−2x−3，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P>QB．P=QC．Py>0)，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
【考点题型十一】整式的混合运算（）
【例11】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）化简：8x4−6x3÷−2x2；
（2）化简：2x−12−2x+32x−3．
【变式11-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）计算：
(1)xy23x+4y÷2xy；
(2)x−12−x+1x−5．
【变式11-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算
(1)2x3⋅−5xy2；
(2)6a213ab−b2−2a2ba−b
(3)a−b2−a+ba−b+2ab
【考点题型十二】整式的化简求值（）
【例12】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：x−32+x4−x−8，其中x=−15．
【变式12-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：
x+yx−y−y2x−y−x−y2÷2y，其中x=1，y=2．
【变式12-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：x−2y2+x+2yx−2y÷2x，其中x=−3，y=5．
【变式12-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：x+2yx−2y−x−4y2÷4y，其中x=12,y=2．