【知识梳理】清单03概率初步(学生版+解析)-2025年七年级数学下学期期末总复习(北师大版)

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清单01 事件的类型
EQ \\ac(○,1)必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
EQ \\ac(○,2)不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
EQ \\ac(○,3)不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么016，
∴四个选项中可能性最大的是D，
故选：D．
【变式2-3】（23-24六年级上·上海崇明·期末）掷一枚骰子，点数是4的因数的可能性大小是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了可能性大小的求法，先找出4的因数有1、2、3，然后可求得可能性大小，准确找到4的因数是解题的关键．
【详解】解：骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6，
其中是4的因数的有1、2、4三种，
∴点数是4的因数的可能性大小是36=12，
故答案为：12．
【考点题型三】概率的意义（）
【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是3100，则下列推断正确的是（ ）
A．做100次这种实验，事件A必发生3次
B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次
C．做1000次这种实验，事件A必发生30次
D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答．
【详解】解：某事件A发生的概率是3100，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次，
故选：D
【变式3-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是20%”是指明天有20%的时间会下雨
C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
【答案】D
【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率是20%”，是指明天有20%的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意；
C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；；
D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式3-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若气象部门预报明天下雪的概率是85%，则下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雪B．明天一定不下雪
C．明天85%的地方下雪D．明天下雪的可能性较大
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义去理解即可，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：∵气象部门预报明天下雪的概率是85%，
∴明天下雪的可能性比较大，
故选：D．
【变式3-3】（2023八年级下·江苏·专题练习）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小明夺冠的可能性较大
B．小明夺冠的可能性较小
C．小明肯定会赢
D．若小明比赛10局，他一定会赢8局
【答案】A
【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可．
【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意；
C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意．
故选：A．
【考点题型四】频率估计概率（）
【例4】（24-25九年级上·四川达州·期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为10×60100=6（个），
故选：C．
【变式4-1】（24-25九年级上·福建莆田·期末）有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
故选：C．
【变式4-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个口袋中有10个球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中、不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有50次摸到红球．估计这个口袋中红球的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了用频率估计概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
用袋中球的总数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：根据题意，口袋中的红球的个数大约为10×50100=5个，
故选C．
【变式4-3】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．32cm2B．24cm2C．16cm2D．8cm2
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.3附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.3，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，于是把0.3作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有x10×8=0.3
解得：x=24，
即不规则图案的面积为24cm2．
故选：B．
【考点题型五】概率公式（）
【例5】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答．
【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是14，
故选：C
【变式5-1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率P（W）的值为（ ）
A．13B．14C．16D．19
【答案】D
【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由图可知区域C的面积为22×π=4π，
最大的圆的面积为2+2+22×π=36π，
∴“豆子落在C中” 的概率PW=4π36π=19．
故选：D．
【变式5-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01）
【答案】0.96
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96．
故答案为：0.96．
【变式5-2】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮28秒，绿灯亮29秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．
【答案】2960
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率是计算公式，让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【详解】解：一共是60秒，绿灯是29秒，
所以绿灯的概率是p=2960；
故答案为：2960．
【考点题型六】几何概率（）
【例6】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（ ）
A．18B．13C．14D．12
【答案】C
【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解．
【详解】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为28=14．
故选：C．
【变式6-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含π的式子表示）．
【答案】4−π4
【分析】本题考查了几何概率，求出正方形的面积与阴影部分的面积，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可得解．
【详解】解：由题意可得，正方形的面积为2×2=4，阴影部分的面积为4−π，
∴在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是4−π4，
故答案为：4−π4．
【变式6-2】（24-25九年级上·山东东营·期末）将一个小球放在如图所示的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为 ．
【答案】29
【分析】本题考查了几何概率，解题的关键是求出黑色方砖的面积占总面积的比值．
根据概率的定义求出黑色方砖面积与全部面积的比值即为答案．
【详解】解：设每个小正方形的边长为 1 ，
则：S正方形=32=9，S黑色=12×1×1×4=2，
∴P=S黑色S正方形=29，
故答案为：29．
【考点题型七】用列举法或树状图求概率（）
【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去．
(1)松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是_____；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率．
【答案】(1)12
(2)13
【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键．
（1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择A，要么选择B，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过E门出去的情况，即可求出概率．
【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择A，要么选择B，
∴松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是12，
故答案为：12
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中松鼠经过E门出去的情况有2种，
∴松鼠经过E门出去的概率是26=13
【变式7-1】（21-22九年级上·江西上饶·期末）实施“双减”政策后，某校每周举行一次学科实践作业秀活动，内容有布艺、剪纸、卡通画（分别用A，B，C依次表示这三种作业）．小贤和小安计划每人选择一种作业，上述三种作业中的每一种作业被选中的可能性均相同．
(1)小贤随机选择一种作业是布艺的概率是__________．
(2)请你用列表法或画树状图法，求小贤和小安选择同一种作业的概率．
【答案】(1)13；
(2)小贤和小安选择同一种作业的概率=13．
【分析】（1）根据列举法列出所有的作业情况，选择布艺只有一种，然后利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，根据树状图列出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵学科实践作业秀活动，内容有布艺、剪纸、卡通画三种，小贤随机选择一种作业是布艺只有一种，
∴小贤随机选择一种作业是布艺的概率是13，
故答案为：13；
（2）解：根据树状图列出所有等可能的结果有9种，其中小贤和小安选择同一种作业共有3种情况，
∴小贤和小安选择同一种作业的概率=39=13．
【点睛】本题考查画树状图求概率，列举法求概率，掌握画树状图的方法，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
【变式7-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同．
(1)嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率．
(2)若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由．
【答案】(1)16
(2)嘉嘉获奖的可能性更大，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．
（1）画树状图得出所有等可能结果，找出其中两次都摸到数字为2的小球的结果再根据根据概率公式计算即可；
（2）分别树形法求出嘉嘉和淇淇各自方式的概率即可得出答案．
【详解】（1）解：嘉嘉摸球，画树状图如下：
共6种等可能的结果，其中两次都摸到数字为2的小球的结果只有1种，
∴P（两次都摸到数字为2的小球）=16．
（2）嘉嘉获奖的可能性更大．理由如下：
嘉嘉摸球，由（1）中树状图可知共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字的结果共有3种，
∴P（嘉嘉获奖）=36=12．
淇淇摸球，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数
字的结果共有2种，
∴P（淇淇获奖）=26=13．
∵12>13,∴嘉嘉获奖的可能性更大．
【考点题型八】游戏的公平性（）
【例8】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积．
(1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率；
(2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
【答案】(1)16；
(2)游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可；
（2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断．
【详解】（1）列表如下：
由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为2×3=6，3×2=6，∴P（积为6）=212=16；
（2）游戏不公平．
因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况．
P（积为奇数）=13，P（积为偶数）=23，13≠23，所以不公平
游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．
或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分）
注：这道题列这种表不扣分
由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，
其中积为6的有2种，为2×3=6，3×2=6，
∴P（积为6）=212=16；
（3）游戏不公平．
因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况．
P（积为奇数）=13，P（积为偶数）=23，13≠23，
所以不公平．
游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．
或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分）
【变式8-1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）将正面分别写着数字0、1、2的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片， 记该卡片上的数字为n，组成一数对m,n．
(1)请用树状图或列表的方法求出所有可能出现的结果；
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢． 你认为这个游戏公平吗? 请说明理由．
【答案】(1)列表法得到所有可能结果见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查概率综合，涉及列举法求事件发生所有可能结果、列举法求事件概率等知识，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用列表法求解即可得到答案；
（2）根据题意，利用列表的得到两张卡片数字和，再由简单概率公式代值求解后比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：列表如下：
（2）解：游戏不公平，
理由如下：列表得
∴由上表可知，数字和为奇数的有4种等可能的情况；偶数的有5种等可能的情况，则P（甲赢）=49；P（乙赢）=59；
∵ P（甲赢）< P（乙赢），
∴游戏不公平．
【变式8-2】（24-25九年级上·广东清远·期末）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．
(2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．
【答案】(1)16
(2)公平，见解析
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有6种，得出小强、小刚胜的概率分别为12，即可求解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种，
∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为212=16．
故答案为：16
（2）解：上述游戏公平，理由如下：
两人抽到的卡片有指南针的结果数有6种，
∴小强胜的概率为612=12
小刚胜概率为612=12
∴上述游戏公平
抽查的工件数n/个
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的工件m/个
95
194
289
479
769
950
2880
合格工件的频率mn
0.950
0.970
0.963
0.958
0.961
0.959
0.960
小真小帅
1
2
3
4
1
1,1
2,1
3,1
4,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
3
1,3
2,3
3,3
4,3
小真
小帅
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
0
1
2
0
0,0
0,1
0,2
1
1,0
1,1
1,2
2
2,0
2,1
2,2
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
3
2
2
3
4