2022北京初三一模数学汇编：新定义练习（含答案）

这是一份2022北京初三一模数学汇编：新定义练习（含答案），共35页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
2．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．
(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；
(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．
3．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”．
(1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______；
(2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”．
①求OA的最小值；
②直接写出△APO面积的最小值．
4．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．
(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是 ；
(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值．
5．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
(1)已知．
①在点中，线段的“等幂点”是____________；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
6．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．
(1)如图1，若r为1．
①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是 ；
②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；
(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．
7．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．
(1)当点的坐标为时，
①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；
②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；
(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．
8．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．
9．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
10．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．

(1)如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
(2)⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．
(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；
(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；
(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．
12．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．
(1)在，，中，点P的等和点有______；
(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．
13．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．
(1)如图，点，．
①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1，求m的取值范围；
(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．
参考答案
1．(1)C1、C3
(2)1≤b3
(3)≤d≤
【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；
（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；
（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．
（1）
解：如图所示，
由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；
过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；
故答案为：C1、C3．
（2）
解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，
则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，
则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，
此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，如图3所示，
易得：r==AC==
①当r>时，由图可知，AC将与圆O存在两个交点，不符题意
∴r2
即B4圆O外部，C在圆O内部，B4C与圆O必有一个交点，符合题意
∴r>4符合题意
综上所述，r的取值范围是：4．

图1 图2 图3 图4
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．
11．(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；
（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；
（3）根据题意，作的切线，，求得直线解析式，即可求得的取值范围．
（1）
根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，如图，是的弦，与关于轴对称，则是以直线l为轴的的“关联线段”
故答案为：
（2）
如图，设1交轴于点，交于点，
的半径为2
,，则
在中，
∴所在直线是等边三角形的对称轴，则
，
在中，
（3）
如图，过点作的切线，与交于点，取的中点,连接，
,
的半径为2，
是与的交点
是等边三角形
同理也是等边三角形
是等边三角形
设直线的解析式为，的解析式为
解得
直线的解析式为，的解析式为
根据定义可知，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，则直线与相交，
或
【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角形，圆的性质，待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理，切线的性质，理解定义，将圆心对称是解题的关键．
12．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，根据等和点的定义，A的横坐标比纵坐标大2，由此可得方程，求解即可；
（3）因为线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．且MN的最小值为5，所以PC的最大距离不能超过5，分别找到点P和点C的等和点所在的区域或直线，然后得到MN取得最大值时，b的边界即可．
(1)
解：由题意可知：
∵，∴点Q1是点P的等和点；
∵，∴点Q2不是点P的等和点；
∵，∴点Q3是点P的等和点；
∴点P的等和点有，，
(2)
解：设，
由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，
∵点P的等和点也是点A的等和点，
∴A的横坐标比纵坐标大2，
则，解之得：，故，
(3)
解：∵P（2，0），
∴P点的等和点在直线y=x+2上，
∵B（b，0），
∴B点的等和点在直线y=x+b上，
设直线y=x+b与y轴的交点为B'（0，b），
∵BC=1，
∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，
∴点C的等和点是两条直线及其之间与其平行的所有平行线上，
以B'为圆心，1为半径作圆，
过点B'作y=x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，
∵MN的最小值为5，
∴B'M最小值为4，
在Rt△B'MP'中，B'P=，
∴PB=，
∴OB=，
同理当B点在y轴左侧时OB=，
∴≤b≤．
【点睛】本题考查新定义，涉及到平面直角坐标系，坐标轴上两点之间的距离，一次函数，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解，（3）较难，需理解题意将其转化为求PC最大值问题．
13．(1)①2，1；②-1≤ m ≤ 2且m ≠ 1
(2)
【分析】（1）①根据新定义，可得原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离，由两点间公式求得即可，最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1时，有两种情况讨论如下：当点C在线段AB上方时，当点C在线段AB下方时，分别表示出“全距”，求解即可；
（2）由题意得，原点O到等边△DEF上一点的最大距离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离，原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离，求解即可．
(1)
① 点，
原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离
最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离，

故答案为：2，1；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1
有两种情况讨论如下：
当点C在线段AB上方时
三角形上一点到原点的最大距离为点C 到原点的距离
三角形上一点到原点的最小距离为线段AB中点(0,1 )到原点的距离
此时若“全距”为1，即m - 1 = 1
则m= 2
当点C在线段AB下方时，
三角形上一点到原点的最大距离为线段AB上点A或点B 到原点O的距离
三角形上一点到原点的最小距离为点C 到原点的距离
此时若“全距”为1，即2-|m|= 1
解得m =±1
假设m= 1，则A，B，C三点不构成三角形，
故m =-1
综上所述，m的取值范围是一1≤ m ≤ 2且m ≠ 1
(2)
OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上
等边△DEF的三个顶点与的交点不存在O、M、D（或E或F）三点共线的情况
原点O到等边△DEF上一点的最大距离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离
即
原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离
即
综上，“全距”d的取值范围为 ．
【点睛】本题是新定义类题目，涉及两点间距离公式、点与线段的位置关系、点与圆的位置关系，准确理解新定义是解题的关键．