河南省郑州外国语学校2025届高三下学期5月调研考试（十）数学试题（Word版附解析）

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（120分钟 150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，可得，解得或，
所以或，
又，
所以.
故选：A
2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【详解】由题，，即，
所以，得，，所以.
故选：B
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由.
由
由.
所以.
故选：B
4. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ）
A. 10种B. 12种C. 15种D. 20种
【答案】C
【详解】从6人中任选3人，有种选法，
其中，若全选男生或全选学生，有种选法，
所以符合题意的选法为种.
故选：C
5. 已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（ ）.
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【详解】
如图，设函数在点和处的两条切线互相垂直，
当时，，；
当时，，.
则，
因为直线与互相垂直，所以，即，
由图象可知，，则，，
所以直线方程为，当时，，故点，
同理，直线方程为，当时，，故点，
所以，.
故选：A.
6. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由三角函数的定义可知，，，
则，
因为，其中，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
7. 已知，，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，得，即，则，
由，得，即，则，
，则，
因此，所以，即.
故选：D
8. 函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因函数在区间上单调，
且满足，而，,
即的一个对称中心为，故；
而，故在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则；
函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，
故，即，
解得，结合，
可得的取值范围为，
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为
B. 已知优秀率为，则
C. 越大，的值越小.
D. 越小，评分在的概率越大
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可知，，有对称性可知，，故A正确；
对于B，由题意可知，，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以，
不会随的变化而变化，故C错误；
对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，
因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，
故D正确；
故选：ABD.
10. 已知正方体的棱长为，点为正方形（包括边）内一动点，则（ ）
A. 任意点，均有平面平面
B. 不存在点，使得平面
C. 若直线与平面所成角为，则点在棱上
D. 若直线与所成角为，则点的轨迹长为
【答案】ACD
【详解】对于选项A，由正方体的性质知，平面，又面，
所以平面平面，故选项A正确，
对于选项B，因为，又面，面，所以面，
则当时，平面，所以选项B错误，
对于选项C，如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，
则，，，，设，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，则，整理得到，
所以，则，所以选项C正确，
对于选项D，由选项C知，，所以，
又，则，
整理得到，则点在平面内，以为圆心，的圆上，
又点为正方形（包括边）内一动点，所以点的轨迹长为，故选项D正确，
故选：ACD.
11. 已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
【答案】ABD
【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对；
对B，由，，得，
所以，所以，，
又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，
所以，故B对；
对C，在上单调递增，在上单调递减，
由，的图象关于对称且，
由A可得，故在上单调递增，在上单调递减，
可知在单调递减，在单调递增，
又的周期为4， 所以在单调递增，
所以在单调递减，在单调递减，
又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，
所以则的极大值点为，故C错；
对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，
即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的末三位数是____________．
【答案】481
【详解】因
，
因是正整数，
故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481.
故答案为：481.
13. 已知为双曲线的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】或
【详解】当直线与双曲线的一支交于两点时，不妨设，
过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，
直线与另一条渐近线交于点，则，，
因为，所以，
设渐近线的倾斜角为，
则，解得或（舍去），
即，故双曲线C的离心率.
当直线与双曲线的两支各交于一点时，
不妨设，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，
直线与另一条渐近线交于点，则，，
因为，所以.
设渐近线的倾斜角为，则，
解得或（舍去），即，
故双曲线的离心率.
综上，双曲线的离心率是或.
故答案为: 或
14. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】##
【详解】设，则其定义域为，且
，故奇函数.
而，且仅在时，所以为增函数.
同时，不等式可化为，即.
而是奇函数，故原不等式又等价于，
因为是增函数，所以等价于.
当时，这可化为，故条件即为对任意成立.
①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有；
②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.
首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.
设，则，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
.
从而由即可得到.
即当时，不等式对恒成立，
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
在中，因为，
所以，
得到，
据正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以.
【小问2详解】
在中，因为，
所以，则，
由正弦定理得，
则，
又因为，所以，则，
结合函数性质可得，故的取值范围为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形.
（1）若分别是棱的中点，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
如图，取的中点，连接.
∵分别是棱的中点，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
【小问2详解】
如图，连接，取的中点，连接，
∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，故，
∵，∴，且，
∵，∴，故为等边三角形，
∴，.
∵为等边三角形，∴.
在中，由余弦定理得，，
∴，即，故两两互相垂直.
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
由得，
∴，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故.
取平面的一个法向量，则，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【小问1详解】
当时，，，
则，
当或时，；
当时，，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增.
【小问2详解】
由，，得，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为且，因为函数在时的图象关于轴对称，
所以，即，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
又，即，
则，
又，则，，
设，，
则，即函数在上单调递减，
所以，即.
18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证：，均为等比数列并求它们的通项公式.
【答案】（1）0.5;
（2）证明见解析，，.
【小问1详解】
在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
【小问2详解】
由题意，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
所以，则，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
满足上式也满足题意，则.
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为；
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为.
所以，
整理可得，
因为，所以，
即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，满足上式也满足题意，则，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.
19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；（ii）存在，点，
【小问1详解】
由题意得，，故，，
又，解得，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
（i），
当直线的斜率不存在时，此时直线与交于关于轴对称的两点，
设，
则，即，
又，所以，
所以，解得或，
当时，，此时与重合，
直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，
当时，直线方程，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，
，解得，
设，则，
所以，
由得
，化简得，
，解得或，
当时，，过定点，
直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，
当时，，过定点，
显然此时满足，
其中也过点，
综上，直线过定点；
（ii）存在点，使得与的面积之比为3：5，理由如下：
在轴上方，故在轴下方，即，，
由椭圆定义可知，，
又的圆心为，半径为4，
故，所以，
由于，，
所以，
令，
当直线斜率不存在时，，此时，
解得，令中得，
又在轴上方，故，满足要求，
当直线斜率存在时，设，
在中，，，，
由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，
由可得，
解得或，均不合要求，舍去，
综上，存在点，使得与的面积之比为3：5