河南省郑州外国语学校2025届高三下学期3月调研考试（八）数学试卷（Word版附答案）

这是一份河南省郑州外国语学校2025届高三下学期3月调研考试（八）数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．复数z满足（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．B．5C．D．
3．双曲线(，)的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数在区间上的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
5．设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ）
A．14B．15C．16D．15或16
6．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）
A．B．C．D．
7．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A．B．C．0.8D．0.96
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
二、多选题（本大题共3小题）
9． 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A． 的图象关于点对称
B． 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C． 在上的值域为
D． 在上单调递增
10．已知函数则（ ）
A．在区间上单调递增
B．仅有个极大值点
C．无最大值，有最小值
D．当时，关于的方程共有个实根
11．在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ）
A．平面
B．的长可能为3
C．
D．点在半径为的球面上
三、填空题（本大题共3小题）
12．若曲线处的切线平行于直线的坐标是 .
13．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
14．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在锐角中，角A､B，C所对的边分别为a､b､c，已知.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
16．等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
17．如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，.

(1)求证：平面.
(2)点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值.
18．在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为．
(1)求的值；
(2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围．
19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：y=fx上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示y=fx在点处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线y=fx的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，，所以或，
又因为，
所以，共4个元素，
故选：B
2．【答案】D
【详解】方法一：由题意：，
所以，所以.
故选：D
方法二：根据复数模的性质，得：.
故选：D
3．【答案】A
【详解】由题意，该双曲线的离心率，则，
所以该双曲线的渐近线方程为即.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，故函数最大值为，
故选：B
5．【答案】D
【详解】由，
由，
所以数列的公差，且，
所以，且数列单调递增，
故取最小值时，的值为15或16.
故选：D.
6．【答案】D
【详解】因为在中，，又为边上一点，且，
所以，
又，
所以，
所以，解得，
所以.
故选:D.
7．【答案】C
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
所以该数据的残差为.
故选：C.
8．【答案】D
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
9．【答案】ABD
【详解】
相邻两对称轴间距离为，则，∴，
∴，，
， ∴关于对称，A对.
，∴关于轴对称，B对.
当时，有，则，所以，
∴，C错误.
由，得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，D对.
故选：ABD
10．【答案】BC
【详解】对于A选项，当时，，
则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，A错；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有个极大值点，B对；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，C对；
对于D选项，如下图所示：
由图可知，当时，关于的方程共有个实根，D错.
故选：BC.
11．【答案】ACD
【详解】取的中点，连接，结合题设易知，且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面，A正确.
设的中点为，连接，
由知，四边形是直角梯形，且，
所以，
因为，所以在以为球心，为半径的球面上运动（不经过面），
则，B错误.
，
因为与不共线，所以，
所以，C正确.
设的中点为，连接，则，
所以在以点为球心，为半径的球面上运动，D正确.
故选：ACD
12．【答案】
【详解】试题分析：因为，设切点，则又
考点：利用导数求切点
13．【答案】/
【详解】因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
14．【答案】
【详解】如图，设，，延长交于，
由题意知，为的中点，故为中点，
又，即，则，
又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故答案为：
15．【答案】(1)；
(2)，
【详解】（1）为锐角，，
，
（2），，
又，即，，
所以，，从而，．
16．【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据和，，成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差的值，再结合，即可写出通项.根据前项和与第项的关系，由可求出，进而可求出；
（2）利用“错位相减法”，可求出数列的前n项和.
【详解】解：（1）由已知，又
故
解得（舍去），或
∴
∵①
故当时，可知
∴
当时，可知②
①②得
∴
又也满足，故当时，都有；
（2）由（1）知
故③
∴④
由③—④得
解得.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，
则平面.又平面，则；
又在等腰梯形，如下图，作，
由题可知，，又，则，结合，得.
因，则.
又平面，平面，，
则平面；
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系.
则，又由（1）可得
.
因在直线，则，
则，即.
则.
又，平面MCD，则.
得.则，.
又由（1）得，可取为平面的一个法向量，，
设与平面所成角为，则.
即与平面所成角的正弦值为.

18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，，，
；
（2）由题意知直线的方程为，则，
由，得，
则，则，，
则，又
所以的中点的坐标为，
当直线的斜率存在时，由题意知，，又，
所以，
即，得，，
，
当直线的斜率不存在时，，
综上：的取值范围是.
19．【答案】(1)1；
(2)；
(3).
【详解】（1）易知单位圆上圆心角为的圆弧，
所以；
（2）由题意，因为在第一象限，所以，
，，
故，，故；
（3），，
故，其中，
令，，则，设，则，
令，，
时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
故，
令，
，
令，
则，当时，恒成立，
故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在单调递增，
故，
故的最小值为.色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20