湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期保温卷（二）数学试题（Word版附解析）

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1．已知，则（ ）
A．10B．C．5D．
【答案】A【详解】解法一：，
解法二：因为，所以，故选：A.
2．已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，整理得，解得.故选：D.
3．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．存在一对异面直线，则
【答案】D
【详解】对于A，由，得直线与可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误；
对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，要垂直于内的两条相交直线，才能推出，C错误；
对于D，过直线的平面，由，得，而，则，
由是异面直线，得直线相交，又，因此，D正确. 故选D，
4．已知，．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B.
【详解】，，是在上递增的奇函数，又是偶函数，且时，，时，，故单调递减；单调递增，且，，
，
，
C不成立，D不成立；，
A不成立，B成立；故选：B．
多选题
5、已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
【答案】ABD
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，点在位置时，，此时，点在位置时，此时，所以中间必然有位置使得，故D正确．故选：ABD
6．设平面上，动点到点的距离的倒数之和等于1，那么（ ）
B．的最小值为2
C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部
D．记点的横坐标为，则随着的增大而增大
【答案】ACD解析：对于A选项，由题意可知，则，
因，所以，解得，故A正确；
对于B选项，当时，，故B错误；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，
所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部，故C正确；
对于D选项，由，得，
因，，则，即，所以，
即，令，则，令，则，
则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确.
故选：ACD.
填空题
7、记的内角的对边分别为，若，则 ．
【答案】
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，即，所以或（舍去），即，又因为，则，解得．故答案为：.
8．已知甲同学定点投篮，每一次投中的概率均为，记甲同学投篮的总次数为．规定投中3次就“通过”并停止投篮，则= 值为多少时，“通过”的可能性最大，此时“通过”的概率为
【解析】（1）
令，可得，
可得，当时，,
当时，，即,
当时，，即,
可得，.
解答题
9、如图，在三棱锥中，平面ABC，为锐角，动点D在的边AC上，，，，三棱锥的体积为.
(1)证明：平面平面PAB.
(2)当点P到直线BD的距离为时，求PD与平面ABC所成的角.
【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，，，
所以，同理得.
又因为，所以.
因为为锐角三角形，所以.
由余弦定理，可知，所以，所以，
又因为，，PA，平面PAB，
所以平面PAB，所以平面平面PAB.
（2）如图，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
设，则.
由，
解得或（负值舍去），所以.
由（1）知PD与平面ABC所成的角为，所以，
所以，即PD与平面ABC所成的角为.
10．为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只.
(1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效.
(2)第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用表示服药的只数，求的分布列和数学期望.
(3)第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，服药未患病的小白鼠中有20%患病，未服药未患病的小白鼠中有15%患病.用频率估计概率，试验结束后，从这100只小白鼠中任选1只，检测是否患病后放回，若该操作进行5次，求选出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率. 附：，其中.
【详解】（1）因为患病小白鼠的比例为，所以患病小白鼠有只，
则不患病的小白鼠有只，又未服药小白鼠的比例为，
所以未服药小白鼠有，从而完善列联表，如下表：
零假设为：该药物对预防流感无关联. 因为，显然，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，没有充分证据表明该药物对预防流感有效.
（2）由题意X的所有可能取值为，
则，，，所以的分布列为：
所以的数学期望为.
（3）第二阶段结束后，服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，那么服药且患病后仍患病的小白鼠的数量为，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，
那么未服药患病后仍患病的小白鼠的数量为，
服药未患病的小白鼠中有20%患病，那么服药未患病后患病的小白鼠的数量为，
未服药未患病的小白鼠中有15%患病，那么未服药未患病后患病的小白鼠的数量为，
所以第二阶段结束后患病的小白鼠的总数量为，
所以从这100只小白鼠中任选1只，患病的概率为，
设表示选出的5只小白鼠中患病的只数，则，
“至少有2只患病”的对立事件为“0只患病”或“1只患病”，
所以.
11、设数列的前项和为，且1，定义：，已知在平面直角坐标系中，记圆，曲线.
(1)求的通项公式； (2)求与的交点个数；(3)探究当时，与是否有交点.
【详解】（1）由于，当时，，作差得，即，
又，故；经检验同样满足，故的通项公式为.
（2）由题易得，画出与曲线的图象，
可知与的交点个数为2.
（3）没有交点.只需证明对任意的，有，
这是因为经过点经过点，
若，说明在处的值大于在处的值，且为增函数，则没有交点，
只需证明，即. 记函数，
则，
故在上单调递增. 又，
当时，，易得恒成立；
当时，，易得恒成立，即，
故，故当时，与无交点.
【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是通过式子变形转化为证明，构造函数，借助导数研究单调性解题，综合性强，属于难题.药物
流感
合计
未患病
患病
未服用
服用
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
药物
流感
合计
未患病
患病
未服用
20
20
40
服用
35
25
60
合计
55
45
100
0
1
2