安徽省望江县第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
3．在等比数列中，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．二项式的展开式中的系数为（ ）
A．B．40C．D．60
6．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18B．21C．36D．42
8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得.空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A．是互斥事件B．是独立事件
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的递减区间是(，1)B．函数在(e，)上单调递增
C．函数的最小值为1D．若，则m＋n＞2
11．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线，所成的角为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为 .
13．给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案．
14．已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．从、、三个奇数中取两个，再从、、三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问：
（1）能够组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能够组成多少个比大的四位奇数？
16．已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
17．已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值.
18．如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数.（注：…是自然对数的底数）
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】根据题意，.
故选A.
2．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选A
3．【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，则，可得，
因此，.
故选C.
4．【答案】C
【分析】根据正态曲线的性质计算可得.
【详解】因为且，则，
所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】，
的通项为，
根据题意，.
故选B.
6．【答案】A
【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应），
则,且两两互斥，
由题意可得：,，
.
故选A.
7．【答案】D
【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地派2名女生，有种情况；
若甲地分配1名女生，有种情况，
则甲地的分派方法有种方法；
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，
由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种.
故选D.
8．【答案】A
【分析】先找出BD的中点O为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可.
【详解】如图，取BD的中点为O，
由正方形ABCD的边长为2，则，
因此O为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，
则有，即，
当截面时，d最大，此时截面面积最小，且，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
此时，
所以截面面积最小值为.
故选A.
9．【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的定义可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D.
【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，，
所以，是互斥事件，故A正确；
对于B，，，
则，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】因为，所以，
由于函数的定义域为(0，)，故A错误；
当x(e，)时，，
所以函数在(e，)上单调递增，B正确；
令，则
令，则
所以函数在单调递减，在单调递增
所以当x＝1时，函数有最小值为，故C正确；
选项D，姑且令m＜n，由得，
欲证m＋n＞2，只要证明，
令，即成立即可，
令，
所以当时，，所以在递增
所以，故不等式成立，
故选项D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABC
【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据三棱锥的体积计算的公式可判C项真假；根据列举特殊情况可判D项真假.
【详解】如图1，连接交于点，
因为，，，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A项正确；
易知，所以，且平面，平面，
所以平面，故B项正确；
图1
因为平面，平面，所以，
所以.
因为，，，平面，平面，，所以平面.
所以到平面的距离为，
所以为定值，故C项正确；
D．当，，取为，如下图2所示：
图2
因为，所以异面直线所成角为，，
且；
当，，取为，如下图3所示：
图3
易知，，所以四边形是平行四边形，所以.
因为，是的中点，所以.
又，，，
所以异面直线所成角为，且，
由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.
故选：ABC.
12．【答案】
【详解】
如图，由点在椭圆上，代入解得，则椭圆：，
当的面积最大，因长度不变，则需使点P到直线的距离最大，
直线的方程为，
设直线：，使得与椭圆：相切，
联立可得：消去得，，令，
可得，，解得
此时直线l到直线的距离为，，
故此时的面积最大值为.
13．【答案】288
【详解】如图示，六个区域分别设为A,B,C,D,E,F区域，
若仅用三种不同的颜色涂色，那么A,C一定涂相同颜色，
此时共有种不同的涂色方案；
若选四种不同颜色涂色，
那么当A,C涂色相同时，那么A，B，C，D用了三种不同颜色，
这时考虑给E涂色时，可能是涂剩下的那一种颜色，也可能涂和AC或B相同的颜色，
此时有 种不同涂色方案，
当A,C涂色不相同时，有 种不同涂色方案，
故共有的涂色方案共有 种.
14．【答案】
【详解】由题意，可得，
当时，，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以，解得.所以实数的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：当取出的数字含时，则首位不能排零，共有个无重复数字的四位数，
当取出的数字不含时，则四个数位上的数字无限制，共有个无重复数字的四位数，
因此，能构成个无重复数字的四位数．
（2）解：当最高位为时，有个比大的四位奇数，
当最高位为时，有个比大的四位奇数，
当最高位为时，有个比大的四位奇数，
能构成个比大的四位奇数.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，①
∴．②
①-②得，即
又，，∴，∴，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（2）由（1）得，，
∴
．
17．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1）因为在椭圆：上，，
又的面积为，解得，
代入，解得，所以椭圆C的标准方程为.
（2）由，，三点共线，可得，故，
同理，由，，三点共线，可得，
若与的面积分别为，，
则，
因为，所以，
所以，又，
故，
因为，令，则，
所以，其中，
函数，，函数图象抛物线开口向下，对称轴为，
则时，有最大值，
即当时， t的最小值为.
18．【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【详解】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）（1）当时，，
故，
故在点处的切线方程为；
（2）解：由题意知有且只有一个根且有正有负，
构建，则.
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，在上恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则，即.
因为，所以当时，，
当时，，
令，则，故，
故在上为增函数.
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点，
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：.
（3）解：由题意知，对于任意的，使得恒成立，
则当取最大值时，取到最小值.
当时，因为，故当时，的最小值为；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，
因为，所以，
代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为.