数学：山东省潍坊市2025届高三下学期5月高考模拟考试试题（解析版）

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一、单选题
1．集合M={2,4,6,8,10},N={x∣-12025B．a2025=2025C．a20250)的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ）
A．l的方程为x=-1B．MF=163
C．以MN为直径的圆与l相交D．△OMN为钝角三角形
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由直线y=-3x-1，可得当y=0时，x=1，
所以抛物线的焦点为(1,0)，准线方程x=-1，故A正确；
对于选项B：由y2=4xy=-3x-1,可得3x2-10x+3=x-33x-1=0，
解得x1=3y1=-23或x2=13y2=233，所以MN=x1+x2+p=3+13+2=163，故选项B正确；
对于选项C：由上述分析可知M3,-23,N13,233，
所以MN的中点53,-233，其到准线x=-1的距离为d=53--1=83=12MN,
所以以MN为直径的圆与x=-1相切，故选项C错误；
对于选项D：OM=32+-232=21，ON=132+2332=133，
而MN=163，OM2+ON2=20290，则-x0，
当x≤0时，x2+x-14=0，解得x1=-1-22,x2=-1+22(舍),
当x>0时，-x2+x-14=0，解得x1=12,
综上g(x)有两个零点，
故答案为:2.
14．一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b．若事件“a+b=7”发生的概率为18，则事件“a>b”发生的概率为 ．
【答案】1948
【解析】设掷出点数为1，2，3，4，5，6点的概率依次为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d,x+5d，则6x+15d=1，
又事件“a+b=7”为所得点数是1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，
其发生的概率为2x⋅x+5d+2x+dx+4d+2x+2dx+3d=18，
即3x2+15dx+10d2=116，代入x=1-15d6得d2=1420，
事件“a>b”即为所得点数是2,1,3,2,3,1,4,3,4,2,4,1,5,4,5,3,5,2,5,1,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1，
其概率为P=x+dx+x+2dx+d+x+2dx+x+3dx+2d+x+3dx+d+x+3dx+⋅⋅⋅+x+5dx，
所以P=15x2+75dx+85d2=53x2+15dx+10d2+35d2=516+35×1420=1948，
故答案为：1948．
四、解答题
15．如图，直四棱柱ABCD-EFGH中，EA=AC=2,BC=1,AB=3．
（1）若AD//BC，证明：EH⊥平面EAB；
（2）若AD⊥DC，且AD=3，求平面ACE与平面DCE的夹角的余弦值．
（1）证明：因为EA=AC=2,BC=1,AB=3，
所以AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，
又AD//BC，则EH//AD，AD⊥AB，EH⊥AB，
又在直四棱柱ABCD-EFGH中，AE⊥平面EFGH，
且EH⊂平面EFGH，
所以AE⊥EH，
又AB∩AE=A,AB,AE⊂平面EAB，
所以EH⊥平面EAB.
（2）解：由题知，若AD⊥DC，且AD=3，
所以DC=AC2-AD2=1，
以D为原点，DA,DC,DH所在直线分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则D0,0,0，A3,0,0,E3,0,2，C0,1,0，
所以CE=3,-1,2，CA=3,-1,0，DC=0,1,0，
设平面ACE的一个法向量m=x1,y1,z1，
平面DCE的一个法向量n=x2,y2,z2，
则CE⋅m=3x1-y1+2z1=0CA⋅m=3x1-y1=0，CE⋅n=3x2-y2+2z2=0DC⋅n=y2=0，
解得z1=0y1=3x1，3x2=-2z2y2=0，
取x1=1,z2=3，
则m=1,3,0,n=-2,0,3，
令平面ACE与平面DCE的夹角为θ，
则csθ=m⋅nm⋅n=21+3×4+3=77，
即平面ACE与平面DCE的夹角的余弦值为77.
16．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,sinB+csB=2．点D在BC上，且BD⃗=3DC⃗，sin∠BAD=3sin∠DAC
（1）判断△ABC的形状；
（2）若四边形ABCE满足∠AEC=π2,AB=2，求四边形ABCE面积的最大值．
解：（1）sinB+csB=2sinB+π4=2，解得B=π4+2kπ,k∈Z，
又B∈0,π，所以B=π4，在△ABD和△ACD中，
BDsin∠BAD=ADsinB，DCsin∠DAC=ADsinC，两式相除得BDsin∠DACDCsin∠BAD=sinCsinB，
又BD=3DC,sin∠BAD=3sin∠DAC，所以BDsin∠DACDCsin∠BAD=sinCsinB=1，
即sinB=sinC⇒B=C=π4，A=π2，所以△ABC为等腰直角三角形.
（2）由（1）知△ABC为等腰直角三角形，B=C=π4，A=π2，
又AB=2，所以AC=2,S△ABC=2，
又∠AEC=π2，所以△ACE是以AC为斜边的直角三角形，
AE2+CE2=AC2=4≥2AE⋅CE⇒AE⋅CE≤2（当AE=CE=2时取等），
S△ACE=12AE⋅CE≤1，又S四边形ABCE=S△ABC+S△ACE≤3，
所以四边形ABCE面积的最大值为3.
17．已知函数f(x)=x+asinx-xcsx．
（1）当a=1时，求f(x)在点(π,f(π))处的切线方程；
（2）若f(x)在区间0,π2上有零点，求实数a的取值范围．
解：（1）f(x)=x+sinx-xcsx，f(π)=2π，
f'(x)=1+csx-csx+xsinx=1+xsinx，f'(π)=1，
所以f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-2π=x-π⇒x-y+π=0．
（2）f(x)在区间0,π2上有零点，则f(x)=x+asinx-xcsx=0⇒a=xcsx-xsinx在0,π2上有解，
设g(x)=xcsx-xsinx,x∈0,π2，则g'(x)=csx-xsinx-1sinx-xcsx-xcsxsin2x=csx-1sinx+xsin2x，
因为x∈0,π2，所以g'(x)0)，可得a=1，
因为双曲线C的一条渐近线方程为y=3x，可得ba=3，所以b=3，
所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
（2）①当b=1时，双曲线C的方程为x2-y2=1，
根据双曲线的对称，可得OQ=OR，
所以S△POQ=S△POR，所以S△MQO=16S△PRQ=16×2S△POQ=13S△POQ，所以MQ=13QP，
设Q(x0,y0)，则P(4x0+6,4y0)，
又由方程组x02-y02=14x0+62-4y02=1，解得x0=-1716,y0=3316，
所以Q(-1716,3316)，可得P(74,334)，
②由双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)，可得A1(-1,0),A2(1,0)，
当直线l的斜率为0时，此时A1R⋅A2P=0，不合题意，则kl≠0，
设直线l的方程为x=my-2，
设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OQ的延长线交双曲线与点R，
根据双曲线的对称性，可得R(-x2,-y2)，
联立方程组x=my-2x2-y2b2=1，整理得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0，
显然二次项系数b2m2-1≠0，其中Δ=-4b2m2-4(b2m2-1)3b2=4b4m2+12b2>0，
所以y1+y2=4b2mb2m2-1,y1y2=3b2b2m2-1，
则A1R=(-x2+1,y2),A2P=(x1-1,y1)，
所以A1R⋅A2P=(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1，
因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线l上，则x1=my1-2,x2=my2-2，
即(-x2+1)(x1-1)-y1y2=-(my1-3)(my2-3)-y1y2=1，
即y1y2(m2+1)-(y1-y2)⋅3m+10=0，
将y1+y2=4b2mb2m2-1,y1y2=3b2b2m2-1代入(m2+1)3b2b2m2-1-3m⋅4b2mb2m2-1+10=0，
即3b2(m2+1)-3m⋅4b2m+10(b2m2-1)=0，可得b2m2+3b2-10=0，
所以m2=10b2-3，代入b2m2-1≠0，可得b2=10-3b2≠1，所以b2≠3，
且m2=10b2-3≥0，解得b2≤103，
又因为b>0，则00时，bt-1=b1+at，
因为at>0，所以bt-1=b1+at>k+at>k，矛盾，
（ii）若-k+1>bt，
当bt-1≤0时，bt-1=b1-at，
因为at>0，所以bt-1=b1-at