专题3 期末复习题——解不等式（组）、新定义类-2025学年人教版数学七年级下册专题复习试题（含答案）

这是一份专题3 期末复习题——解不等式（组）、新定义类-2025学年人教版数学七年级下册专题复习试题（含答案），文件包含专题3期末复习题解不等式组新定义类35道2024－2025学年人教版数学七年级下册原卷版docx、专题3期末复习题解不等式组新定义类35道2024－2025学年人教版数学七年级下册答案版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
目录
类型一 解不等式 1
类型二 解与方程（组）有关的不等式5
类型三 解不等式组7
类型四 与新定义有关的不等式（组）10
类型一 解不等式
1．（2025春碑林区校级期中）解不等式：2（x﹣1）≥3x﹣6．
【解答】解：2（x﹣1）≥3x﹣6，
去括号得：2x﹣2≥3x﹣6，移项得：2x﹣3x≥﹣6+2，
合并同类项得：﹣x≥﹣4，
把x的系数化为1得：x≤4．
2．（2025春嘉定区期中）解不等式：3（6x+7）≥8﹣2（5x﹣9）．
【解答】解：3（6x+7）≥8﹣2（5x﹣9）
18x+21≥8﹣10x+18，
∴18x+10x≥8+18﹣21，
∴28x≥5，
∴x≥528．
3．（2025来安县一模）解不等式：2-x-23＞x．
【解答】解：2-x-23＞x，
去分母得，6﹣x+2＞3x，
移项得，﹣x﹣3x＞﹣2﹣6，
合并同类项得，﹣4x＞﹣8，
化系数为1得，x＜2．
4．（2025春福州期中）解不等式3-x2+1≥x3，并在数轴上表示解集．
【解答】解：去分母得：3（3﹣x）+6≥2x，
去括号得：9﹣3x+6≥2x，
移项得：﹣2x﹣3x≥﹣6﹣9，
合并同类项得：﹣5x≥﹣15，
系数化为1得：x≤3，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
5．（2025春杨浦区期中）求不等式x2+x+13≤2的解集并在数轴上表示出来．
【解答】解：由题知，
x2+x+13≤2，
3x+2x+2≤12，
3x+2x≤12﹣2，
5x≤10，
x≤2．
数轴表示如下：
．
6．（2025春昌平区期中）解不等式x+14≥x3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：∵x+14≥x3，
∴3x+3≥4x，
3x﹣4x≥﹣3，
﹣x≥﹣3，
则x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
7．（2025春新邵县期中）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3
（2）2x-13＜3x-22-1
【解答】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3，
2x﹣11≥4x﹣12+3，
2x﹣4x≥﹣12+3+11，
﹣2x≥2，
x≤﹣1．
数轴如下：
（2）2x-13＜3x-22-1，
2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6，
4x﹣2＜9x﹣6﹣6，
4x﹣9x＜﹣6﹣6+2，
﹣5x＜﹣10，
x＞2．
数轴如下：
8．（2025春芗城区校级月考）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
2x-13-5x+12＞1．
【解答】解：去分母得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
﹣11x＞11，
x＜﹣1，
将解集表示在数轴上．如图所示：
9．（2025春埇桥区校级期中）解不等式1-3x-24≥7x-18，并把解集表示在数轴上．
【解答】解：1-3x-24≥7x-18，
8﹣2（3x﹣2）≥7x﹣1，
8﹣6x+4≥7x﹣1，
﹣6x﹣7x≥﹣1﹣4﹣8，
﹣13x≥﹣13，
x≤1，
在数轴上表示为：
．
10．（2025春西城区校级期中）求不等式x-12≥2x-5的非负整数解，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母得：x﹣1≥2（2x﹣5），
去括号得：x﹣1≥4x﹣10，
移项得：x﹣4x≥﹣10+1，
合并同类项得：﹣3x≥﹣9，
化系数为1得：x≤3．
则非负整数解为0，1，2，3．
11．（2024秋碧江区 期末）解不等式：2x-1≤3x-12，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解．
【解答】解：2x-1≤3x-12，
去分母，得：2（2x﹣1）≤3x﹣1，
去括号，得：4x﹣2≤3x﹣1，
移项及合并同类项，得：x≤1，
其解集在数轴上表示如下所示：
，
∴该不等式的非负整数解为0，1．
12．（2025春昌平区期中）我们把符号“abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad﹣bc，如2345=2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式31-x2x＞3的解集．
（2）若关于x的不等式mx32＜0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
【解答】解：（1）由题意知3x﹣2（1﹣x）＞3，
3x﹣2+2x＞3，
3x+2x＞3+2，
5x＞5，
x＞1；
（2）∵mx32＜0，
∴2m﹣3x＜0，
解得x＞23m，
则23m＝1，
解得m=32．
类型二 解与方程（组）有关的不等式
13．（2025春静安区校级期中）已知不等式1+3x2＞2x-1的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值．
【解答】解：解不等式1+3x2＞2x-1得：x＜3，
则该不等式组的最大整数解为x＝2，
将x＝2代入方程得：3m﹣4＝6，
解得m=103．
14．（2025春上海月考）关于x的方程1-3x2+a=a-13的解是x＝1，求关于x的不等式34ax+16≥12a的解集，并求出满足条件的最小整数解．
【解答】解：∵关于x的方程1-3x2+a=a-13的解是x＝1，
∴﹣1+a=a-13，
∴a＝1，
∴关于x的不等式34ax+16≥12a化为34x+16≥12，
去分母得9x+2≥6，
移项得9x≥6﹣2，
合并得9x≥4，
系数化为1得x≥49，
∴不等式的最小整数解为1．
15．（2024春晋城期中）已知有关x的方程x-15=1-x+12的解也是不等式2x﹣3m＜5的一个解，求满足条件的整数m的最小值．
【解答】解：原方程可化为：2（x﹣1）＝10﹣5（x+1），
即7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入2x﹣3m＜5中，得2﹣3m＜5，
解不等式得：m＞﹣1，
所以整数m的最小值为0．
16．（2025春法库县期中）已知关于x，y的方程组2x+y=m-3x+2y=2m的解满足x+y＜2，求m的取值范围．
【解答】解：2x+y=m-3①x+2y=2m②，
①+②得3x+3y＝3m﹣3，
∴x+y＝m﹣1，
∵x+y＜2，
∴m﹣1＜2，
解得m＜3，
即m的取值范围为m＜3．
类型三 解不等式组
17．（2025春顺德区期中）解不等式组：7x-8＜9xx+12＞1．
【解答】解：由7x﹣8＜9x得：x＞﹣4，
由x+12＞1得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1．
18．（2025灞桥区校级模拟）解不等式组：5(x+1)≤7x+13x-2＜2x-53．
【解答】解：5(x+1)≤7x+13①x-2＜2x-53②，
解不等式①得x≥﹣4；
解不等式②得x＜1；
故不等式组的解集为﹣4≤x＜1．
19．解不等式组：-2x+3＞5①2x-13≥12x-23②．
【解答】解：（1）(5-π)0-6tan30°+(12)-2+|1-3|
＝1﹣6×33+4+3-1
＝1﹣23+4+3-1
＝4-3；
（2）-2x+3＞5①2x-13≥12x-23②，
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜﹣1．
20．（2024秋岳阳楼区期末）解不等式组2x+1≤3①3x-1≥x-7②，并把不等式组的解集表示在数轴上．
【解答】解：解不等式①得x≤1，
解不等式②得x≥﹣3，
可得原不等式组的解集为﹣3≤x≤1，
不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（2025春嘉定区期中）解不等式组：5(x+9)＞6-6(x-1)15x-1≤2-25x并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：5(x+9)＞6-6(x-1)①15x-1≤2-25x②，
解不等式①得，x＞﹣3，
解不等式②得，x≤5，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤5．
数轴表示如下：
．
22．（2025天桥区二模）解不等式组2(x-1)+1＞-3x-1≤1+x3，并写出它的所有整数解．
【解答】解：2(x-1)+1＞-3①x-1≤1+x3②，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤2，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的所有整数解是0，1，2．
23．（2025常州模拟）解不等式组3x-2＜5xx-13-x-44≤1并写出它的正整数解．
【解答】解：3x-2＜5x，①x-13-x-44≤1．②
解3x﹣2＜5x得x＞﹣1．
解x-13-x-44≤1得x≤4．
故原不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
故正整数解为1，2，3，4．
24．（2025春蜀山区校级期中）解不等式组4x+6≥3x+73x+144＞2x-9，并将解集在数轴上表示．
【解答】解：解不等式4x+6≥3x+7，得x≥1；
解不等式3x+144＞2x-9，得x＜10，
∴不等式组的解集为1≤x＜10．
25．（2025金平区一模）解不等式组：x-12≤2x-132+x＜-x+6，并把解集表示在数轴上．
【解答】解：由x-12≤2x-13得：x≥﹣1，
由2+x＜﹣x+6得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
26．（2025春沙坪坝区校级期中）解不等式组：x2≥x-132(1+3x)-7＜1，并在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，且写出所有非负整数解．
【解答】解：x2≥x-13①2(1+3x)-7＜1②
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
将解集表示在数轴上如下：
不等式组的非负整数解为﹣2、﹣1、0．
27．（2025奉贤区二模）解不等式组4(3+x)＞3-2xx3-x-22≥1，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【解答】解：4(3+x)＞3-2x①x3-x-22≥1②，
解不等式①，得：x＞-32，
解不等式②，得：x≤0，
∴不等式组的解集为-32＜x≤0，
解集表示在数轴上如下：
则其整数解是﹣1、0．
类型四 与新定义有关的不等式（组）
28．（2025春沈阳月考）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”．
（1）组合2x-4=05x-2＜3是 ；（填梦想解或无缘解）
（2）若关于x的组合3x-6=0x-a2＞a是“梦想解”，求a的取值范围；
（3）若关于x的2-x=x-2mx-m3+1＜x+m是“无缘解”，则m的取值范围为 ．
【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝0得x＝2，
当x＝2时，5x﹣2＝7＞3，
即x＝2不是不等式5x﹣2＜3的解，
所以组合2x-4=05x-2＜3是无缘解；
故答案为：无缘解；
（2）解方程3x﹣6＝0得x＝2，
解不等式x-a2＞a得x＞3a，
∵关于x的组合是“梦想解”，
∴3a＜2，
解得a＜23，
即a的取值范围为a＜23；
（3）解方程2﹣x＝x﹣2m得x＝m+1，
解不等式x-m3+1＜x+m得x＞3-4m2，
∵关于x的组合是“无缘解”，
∴3-4m2≥m+1，
解得m≤16．
故答案为：m≤16．
29．（2025春朝阳区期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组x＞-1x＜4的解集为﹣1＜x＜4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组x＞-1x＜4的“关联方程”．
（1）方程2x+1＝﹣x （填“是”或“不是”）不等式组2x+5＞0x-3＜-1的“关联方程”．
（2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组x-1＞02x-7＜-1的“关联方程”，求m的取值范围．
（3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组x+2(n-1)＞2nx-n＜3的“关联方程”，直接写出n的取值范围为 ．
【解答】解：（1）∵方程2x+1＝﹣x的解是x=-13，
不等式组x＞-1x＜4的解集为﹣1＜x＜4，
∴x=-13在﹣1＜x＜4的范围内，
∴方程2x+1＝﹣x是不等式组x＞-1x＜4的“关联方程”，
故答案为：是；
（2）由x+2m＝5，解得 x＝5﹣2m，
由x-1＞02x-7＜-1，解得1＜x＜3，
根据题意，得1＜5﹣2m＜3，
解得1＜m＜2；
（3）∵方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组x+2(n-1)＞2nx-n＜3的“关联方程”，
∴不等式组x+2(n-1)＞2nx-n＜3有解，即2＜n+3，
∵方程x﹣2n＝1的解是x＝2n+1，
不等式组x+2(n-1)＞2nx-n＜3的解集为2＜x＜n+3，
∴根据题意，得2＜2n+1＜n+3，
∴12＜n＜2．
故答案为：12＜n＜2．
30．（2025春昌平区期中）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．
我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组x+1＞22x-3＜7只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1）x＜12是 阶不等式；x＞1x-3＜0是 阶不等式组；
（2）若关于x的不等式组2x-4a＜02+3x≥x+92是4阶不等式组，求a的取值范围；
（3）关于x的不等式组x≥px＜m的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜…
如果x≥px＜m是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是x≥px＜m的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＜12没有正整数解，
∴x＜12是0阶不等式；
由x＞1x-3＜0得1＜x＜3，
∴有1个正整数解，
∴x＞1x-3＜0是1阶不等式组，
故答案为：0，1；
（2）解不等式组得：1≤x＜2a，
由题意得：x有4个正整数解，为：1，2，3，4，
∴4＜2a≤5，
解得：2＜a≤2.5；
（3）由题意得，m是正整数，且p≤x＜m有（m﹣3）个正整数解，
∴2＜p≤3，m2=5，
∴m＝10．
31．（2025春遂平县期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4＝2的解为x=-1，2x-3＜9-x5x+5≥2x-4的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝﹣1在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x+4＝2是2x-3＜9-x5x+5≥2x-4的“子方程”．
【问题解决】（1）在方程①4x﹣5＝x+7，②111x-13=0，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组2x-1＞-x+83(x-2)-x≤4的“子方程”是 （填序号）；
（2）者关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组5x-7＞11-x2x≥3x-6的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程4x+4＝0是关于x的不等式组2x+8≥m12x＜13x+3的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）解方程4x﹣5＝x+7得：x＝4，
解方程111x-13=0得：x=113，
解方程2x+3（x+2）＝21得：x＝3，
解不等式组2x-1＞-x+83(x-2)-x≤4得：3＜x≤5，
所以不等式组2x-1＞x+13(x-2)-x≤4 的“子方程”是①②．
故答案为：①②；
（2）解不等式5x﹣7＞11﹣x，得：x＞3，
解不等式2x≥3x﹣6，得：x≤6，
则不等式组5x-7＞11-x2x≥3x-6的解集为3＜x≤6，
解方程2x﹣k＝4，得x=k+42，
由题意，得3＜k+42≤6，
∴6＜k+4≤12，
解得：2＜k≤8；
（3）解方程4x+4＝0，得：x＝﹣1，
解不等式组2x+8≥m12x＜13x+3得：x≥m-82x＜18，
∴不等式组得解集为m-82≤x＜18，
∴x＝﹣1在m-82≤x＜18范围内，
∴m-82≤-1，
解得：m≤6．
32．（2025春西城区校级期中）对于关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x﹣y|≤λ（其中λ为常数），则称该方程组具有P（λ）性质．例如，当λ＝2时，方程组x=1y=3的解满足|x﹣y|＝|1﹣3|≤2，所以该方程组具有P（2）性质．
（1）下列关于x，y的方程组具有P（1）性质的是 （只填写序号）；
①3x+2y=4x-y=3；
②x+y=12x-y=2；
（2）用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[﹣1.5]＝﹣2；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜﹣3.5＞＝﹣3．解决下面问题：
若关于x，y的方程组2[x]-＜y＞=93[x]+2＜y＞=3具有P（λ）性质，求λ的最小值．
【解答】解：（1）①3x+2y=4①x-y=3②，
②×2得：2x﹣2y＝6③，
①+③得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝﹣1，
∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，其绝对值为3，
∴不满足|x﹣y|≤1，
故方程组①不具有P（1）性质；
②x+y=1①2x-y=2②，
①+②得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝0，
∴x﹣y＝1﹣0＝1，即其绝对值为1，
∴满足|x﹣y|≤1，方程组②具有P（1）性质，
综上，具有P（1）性质的方程组为②，
故答案为：②；
（2）由题意得：2[x]-＜y＞=93[x]+2＜y＞=3，
设m＝[x]和n＝＜y＞，其中m和n都是整数，
∴2m-n=9①3m+2n=3②，
①×2得：4m﹣2n＝18③，
②+③得：m＝3，
把m＝3代入①得：n＝﹣3，
∴[x]＝3，＜y＞＝﹣3，
∴3≤x＜4，﹣4≤y＜﹣3，
∴x的最小值为3，y的最小值为﹣4，此时|x﹣y|＝|3﹣（﹣4）|＝|3+4|＝7，
x的最大值接近4，y的最小值为﹣4
∴在x和y的范围内，x﹣（y）的最大值接近8，即||x﹣y|的最大值接近8，
∴λ的最小值为8．
33．（2024秋新田县期末）【定义】
若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”．
【应用】
（1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 （填序号）；
（2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是x+2≥12x+1的“相斥不等式”，求a的取值范围；
（3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解，
∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”；
∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解，
∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”；
∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解，
∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”；
故答案为：①③；
（2）解不等式3x+a≤4得x≤4-a3，
解不等式2﹣3x＜0得x＞23，
解不等式x+2≥12x+1得x≥﹣2，
根据“相斥不等式”的定义得4-a3≤234-a3＜-2，
解得：a＞10；
（3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”，
∴k＜0，
解不等式kx+3＞0得x＜-3k，
∴-3k≤4，
解得：k≤-34．
34．（2025春肥西县校级期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程2x﹣3＝1的解为x＝2，不等式x+3＞0的解集为x＞﹣3，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“完美解”．
（1）下列不等式（组）：①2x﹣3＞3x﹣1，②x-12＜3，③x+1＞0x-2≤1中与方程2x+3＝1存在“完美解”的有哪些？并说明理由；
（2）若关于x，y的二元一次方程组3x-2y=m+22x-y=m-5的解是该方程组与不等式组x+y＞-1x+y＜5的“完美解”，求m的取值范围．
【解答】解：（1）解方程2x+3＝1，得x＝﹣1；
①∵不等式2x﹣3＞3x﹣1的解集为x＜﹣2，
∴﹣1不在该解集范围内；
②不等式x-12＜3的解集是x＜7；
③∵不等式组x+1＞0x-2≤1的解集是﹣1＜x≤3，
∴﹣1不在该解集范围内．
综上所述：方程2x+3＝1只与不等式②存在“完美解”．
（2）解方程组3x-2y=m+22x-y=m-5得：x=m-12y=m-19，
∴x+y＝2m﹣31，
∵方程组的解是不等式组x+y＞-1x+y＜5的“完美解”，
∴﹣1＜2m﹣31＜5，
∴15＜m＜18．
35．（2025春高州市期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组x-2＞0x＜5的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组x-2＞0x＜5的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组x+1＞0x＜2的“相伴方程”的是 ；（填序号）
①﹣2x+6＝0；
②2x+1＝0；
③x﹣1＝0．
（2）若关于x的方程3x﹣k＝2是不等式组4x-6＞4-xx-1≥4x-10的“相伴方程”，求k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，不等式组x+1＞0x＜2的解集为﹣1＜x＜2，
又①﹣2x+6＝0的解为x＝3，②2x+1＝0的解为x=-12，③x﹣1＝0的解为x＝1，
∴是不等式组x+1＞0x＜2的“相伴方程”的是②③．
故答案为：②③．
（2）解不等式组4x-6＞4-xx-1≥4x-10，得2＜x≤3，
又解方程3x﹣k＝2，得x=k+23，
∵关于x的方程3x﹣k＝2是不等式组4x-6＞4-xx-1≥4x-10的“相伴方程”，
∴2＜k+23≤3，
∴4＜k≤7．