(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第11讲 直线和圆的方程 章末题型大总结+章节检测（2份，原卷版+教师版）

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二、题型精讲
题型01直线的倾斜角和斜率
【例1】直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式1】若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型02直线方程
【例1】过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．
【例2】过点作直线分别交，的正半轴于，两点．
(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；
(2)当取最小值时，求直线的方程；
(3)当取最小值时，求直线的方程．
【变式1】若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为______.
题型03两直线的平行与垂直
【例1】已知，“直线与平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【例2】已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【变式1】已知直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型04两直线的交点与距离问题
【例1】已知直线：，直线过点且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)直线与直线关于轴对称，求直线，，所围成的三角形的面积.
【变式1】已知的三个顶点分别为．求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)的面积．
题型05直线中的对称问题
【例1】的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
题型06圆的方程
【例1】已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程．
【变式1】已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【变式2】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
题型07切线和切线长问题
【例1】已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【例2】已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【变式1】已知的顶点分别为．
(1)求外接圆的方程；
(2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标．
题型08弦长问题
【例1】已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则_________．
【变式1】以点为圆心，3为半径的圆与直线相交于A，B两点，则的取值范围为________.
【变式2】若直线与圆相交于A，B两点，当取得最小值时，直线l的斜率为______.
题型09三角形面积问题
【例1】已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
【变式1】已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
题型10圆与圆的位置关系
【例1】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．
【变式1】已知圆经过，圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆相切，求的值.
题型11两圆公共线方程和公共弦长
【例1】已知圆和动圆交于A，B两点．
（1）若直线过原点，求a；
（2）若直线交轴于Q，当面积最小时，求．
【变式1】已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
题型12与圆有关的最值问题
【例1】已知圆.
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上一点，过P作圆C的切线PE，PF，切点分别为E，F，求的最小值.
【变式1】已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
题型13轨迹方程
【例1】已知圆，直线．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
(3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程．
【变式1】已知圆.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.
题型14圆的对称问题
【例1】若 圆被直线平分，则圆的半径为__________.
【例2】已知圆关于直线成轴对称图形，则____；的取值范围是_____.
【变式1】若直线为圆的一条对称轴，则__________．
【变式2】圆关于直线对称的圆的标准方程为___________.
直线和圆的方程 章节验收测评卷
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
7．设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：
8．若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.
9．已知圆与圆内切，则的最小值为_______
10．已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.
三、解答题
11．已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
12．在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
13．已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．