广东省汕尾市部分学校2023−2024学年高一下学期6月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省汕尾市部分学校2023−2024学年高一下学期6月月考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．若，则函数有（ ）
A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值
3．函数若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，且的面积为，则角的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
6．已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．8D．
7．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为，标准差为6，男员工的平均体重为，标准差为4.若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（ ）
A．28B．35C．39D．48
8．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则一定是钝角三角形
B．若，，则有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若为锐角三角形，则
10．已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
11．如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（ ）
A．对于任意点G，平面EFG
B．存在点G，使得平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为 ，的取值范围是 ．
13．已知向量满足，则 ．
14．在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为．
(1)求角B的大小；
(2)若，，是的一条中线，求线段的长．
16．设为常数，函数．
(1)设，求函数的严格增区间；
(2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域．
17．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，求与平面所成角的正弦值.
19．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
参考答案
1．【答案】B
【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
【详解】设则，
所以，，即，
则
故选B.
2．【答案】D
【分析】由题意，，，利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最大值.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，
则解得.故选A.
【易错警示】分段函数的单调性，除了满足在每一段上都单调之外，还要保证端点值符合单调性的要求.
4．【答案】A
【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为向量在向量上的投影向量是，
所以，
即，所以，
又因为，
所以与的夹角是.
故选A.
5．【答案】D
【分析】结合已知利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可.
【详解】的面积，解得，
因为，所以角的大小为或.
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解.
【详解】如图：
正四棱锥的底面积为64，则，
又顶点S在在底面上的射影是四边形的中心，
过点作于，连接，
则，
又侧棱长为，
所以该四棱锥的高为.
故选A.
7．【答案】C
【分析】设女、男员工的权重分别为和，根据方差公式可求出结果.
【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为，
男员工的平均体重和标准差分别为，，所占权重为，
所以样本中全部员工的平均体重为，方差
，
化简得，即，
解得或（舍），
所以女员工的人数为：，
故选C.
8．【答案】C
【分析】由面面垂直的性质得到平面，即可得到，利用勾股定理求出、，再求出点到底面的距离，依题意可得球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上，设到底面的距离为，利用勾股定理求出，即可得到外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.
【详解】因为底面是边长为的正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
又，，，解得（负值舍去），
所以，
取的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，即点到底面的距离为，
设，则，，
球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上，
设到底面的距离为，
那么，，
由可解得，故，即外接球的半径，
故球的表面积为.
故选C.
【关键点拨】先求出、的长度，再确定外接球的球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上，利用勾股定理求出外接球的半径.
9．【答案】AD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理统一成边化简后可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.
【详解】因为，则，所以为钝角，故A正确；
在，，，，
，
则由正弦定理得，，得，
所以无解，故B错误；
因为，即，
整理可得，所以或，
即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
若为锐角三角形，则，所以，
则，故D正确.
故选AD.
10．【答案】BC
【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.
【详解】若，即，即，此时不能作基底，故A错误；
，
即有最小值，故B正确；
若，则有
即，即，即，
解得，即当时，，故C正确；
由A知，若，则，即只能同向不能反向，
故的夹角不可能为，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面即可判断；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.
【详解】当与重合时，平面，平面，
此时直线与平面相交，故A错误；
对于B，因为四边形为正方形，则，
当为的中点时，，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
因为平面，所以，同理，，
因为，平面，所以平面，即平面，故B正确；
取的中点，因为，为的中点，则，
所以，同理可得，则，
因为平面，平面，则，
所以，，则，
球的半径为，
所以直线被球截得的弦长为，故C正确；
设截面圆半径为，球心到截面的距离为d，则.
因为，则，所以截面圆面积，
即截面圆面积的最小值为，D正确.
故选BCD.
12．【答案】；
【分析】根据偶函数可知必为函数的一个零点，由此求得，根据方程的根得，，即可求解.
【详解】函数在上为偶函数，
又函数，有且仅有3个零点，故必有一个零点为，
，；
结合为偶函数，函数，的零点个数，
即方程在有唯一的实数根，
所以在有唯一的实数根，解得，
时，，时，
故且，，故；
故答案为：；,．
【方法总结】已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围：
直接法：直接根据题设条件构造关于参数的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)确定参数的值或取值范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)作移项等变形，转化为两函数图象的交点问题，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解．
13．【答案】2
【分析】把平方后结合数量积的运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：2.
14．【答案】2
【分析】将三棱锥置于如图所示的长方体中，由面面平行的性质定理，判定定理和线面垂直的判定定理证明四边形EFGH为矩形，再设，，，表示出EFGH的面积，由二次函数的性质求解即可.
【详解】将三棱锥置于如图所示的长方体中，
其中，又平面EFGH，平面，
所以平面平面EFGH，
又平面平面，平面平面，所以，
同理，所以；同理，
所以四边形EFGH为平行四边形，
连接，，则，，所以平面，
又平面，所以，所以，所以四边形EFGH为矩形，
设，则，所以，，
即四边形EFGH的面积，
当时，．
故答案为：2.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案；
（2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）由题意，可得的面积，
由余弦定理，即，
所以，即，
又，所以；
为的中点，则，
又，，，
所以，
故，即线段的长度为.
【方法总结】求三角形面积的方法：解三角形求出有关量，利用公式求面积，常用的面积公式为S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，函数
，
令，，
解得，．
所以此函数的单调递增区间为，；
（2）由题意可知函数的定义域为，
又，
因为函数为偶函数，
所以对于任意，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，
只有当时成立，此时．
因为，所以，所以，所以，
即此函数在上的值域为．
【关键点拨】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证；
（2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得.
【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，，
则有，，，所以，
则与共面，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，即平面；
（2）连接，不妨设，则，
所以，
因为三棱柱的侧棱垂直于底面，
所以平面平面，
又，即，又点是的中点，所以，
又平面平面，平面，
即平面，平面，所以，
要使平面，只需即可，
又，
所以，即，（负值舍去），
即时，平面.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，取的中点，证得，结合，得到，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）不妨设，由是的中点，证得，再由，证得平面，设交于点，过点作，得到为与平面所成的角，结合，即可求解.
【详解】（1）因为平面，且平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
取的中点，连接，如图所示，
因为为的中点，所以，
再由为的中位线，可得，所以，
即垂直于平面内的两条相交直线，所以平面，
又因为平面，所以，
连接，因为，则，
所以，所以为等腰三角形，所以，
因为且平面，所以平面；
（2）不妨设，则，
因为，可得，
所以为等腰直角三角形，且，
又因为是的中点，所以，且，
因为，且，平面，所以平面，
设交于点，过点作交于点，则平面，
连接，所以为与平面所成的角，
由，可得，
所以，
又由，可得，
所以，即与平面所成角的正弦值为.
【方法总结】求空间角的常用方法：
定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，通过转化求出结果.
19．【答案】(1)偶函数
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性；
（2）定义法证明函数的单调性；
（3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，可知函数为偶函数；
（2）证明：设，有
，
，
，
故函数在区间上单调递增；
（3）由，有，
由函数在区间上单调递增，，
可知函数在区间上的值域为，
又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为，
令，可得，有，
令，有，
①当时，，此时函数的值域为；
②当时，，此时函数的值域为，
由函数和函数的值域一样，故可得，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为．