河南省安阳市龙安高级中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省安阳市龙安高级中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
3．已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若则
4．端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件 “乙端午节吃咸粽子”，且，，事件A与事件B相互独立，则（ ）
A．B．C．D．
5．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
6．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的面积为（ ）
A．2B．C．1D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则与的虚部相等
C．若，则或D．若，则
10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．图中
B．估计样本数据的第60百分位数约为85
C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5
D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取27名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取9人
11．如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，为圆柱的两条母线，且，，，则（ ）

A．平面
B．直线与平面所成的角的正切值为
C．直线与直线所成的角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 .
13．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 .
14．在中，内角所对的边分别为，若，，，则的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，满足，．
(1)若，求向量的坐标；
(2)若，求与夹角的余弦值．
16．如图所示，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，，且，，分别是，的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求四棱锥的体积.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
18．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任各提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组，，第五组：，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．
(1)根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，，n，，．记总体的样本平均数为，样本方差为，则，
19．在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数除法运算法则计算即可.
【详解】.
故选A.
2．【答案】C
【分析】利用旋转体的结构特征即可求解．
【详解】A．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体可能不是圆锥，故错误；
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误；
C．正确；
D．通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误．
故选C．
3．【答案】A
【分析】根据线面、面面位置关系有关的知识对选项进行分析，即可得出答案.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则可能垂直，平行，故B错误；
对于C，若，则或，故C错误；
对于D，若，则可能平行，异面，相交，故D错误；
4．【答案】B
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.
【详解】由事件A与事件B相互独立，得，
所以.
故选B.
5．【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【方法总结】本题主要考查正弦定理的应用，弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．【答案】C
【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为,所以
所以在上的投影向量的坐标为：
，
故选C.
7．【答案】B
【分析】利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积．
【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．
【关键点拨】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
8．【答案】D
【详解】由题设可得，所以，则，又因为，所以，则，则即的面积为，应选答案D．
思路导引：本题以向量的坐标形式为背景，综合考查的是向量的数量积公式的综合运用．求解时先运用向量的坐标形式的数量积公式进行运算，再运用向量的代数形式的数量积公式计算，进而建立方程求出，然后运用面积公式求出三角形的面积．
9．【答案】AC
【分析】对于可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于D，取特殊值可判定.
【详解】对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确；
对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误；
对于C，若，则，所以或，可得或，故C正确；
对于D，取，，可得，故D错误.
故选
10．【答案】BCD
【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答.
【详解】对于A，由图知，解得，故A错误；
对于B，成绩在内对应的频率为，
成绩在内对应的频率为，
因此第60百分位数位于区间内，，
所以估计样本数据的第60百分位数约为85，故B正确；
对于C，平均数约为，故C正确；
对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，
则应选取成绩在内的学生人数为，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用等体积法求出点到平面的距离，可判断D选项.
【详解】对于A，由已知得平面，平面，所以，
又因为是底面圆的直径，在圆周上且异于、两点，所以，
又，、平面，所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，所以直线与平面所成的角为，
因为，则，
所以，，，
故，
故直线与平面所成的角的正切值为，故B错误；
对于C，连接，

因为且，故四边形为平行四边形，所以，，
所以直线与直线所成的角为或其补角，
在中，，
，
所以，故C正确；
对于D，设点到平面的距离为，
则，即，
又，，
所以，解得，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
，所以表示向量的复数为.
故答案为：.
13．【答案】/0.3
【分析】先找到5个社团选两个分给两个人的个数为20，再找到3个球类运动社团选两个的个数有6个，从而求得概率.
【详解】总的样本点的个数为20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有6个，故所求概率为.
故答案为：/0.3.
14．【答案】
【分析】利用余弦定理、三角形面积公式计算可得答案.
【详解】因为，，，
所以由余弦定理得，
可得，
则的面积为.
故答案为：.
15．【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据向量模的坐标表示得到方程求出，即可得解；
（2）首先求出，再根据向量垂直得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，设，
又，所以，解得，
所以或.
（2）因为，所以，
因为，所以，即，所以，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可以证明平面，平面，进而可以证明平面平面；
（2）利用条件可以求出到平面的距离，进而利用体积公式可以求出结果.
【详解】（1）因为，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
从而.
因为平面，平面，
所以平面.
同理平面，
又，
所以平面平面.
（2）设的中点为，连接，则.

因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据给定条件，并结合正弦定理，余弦定理求解即可.
（2）利用重要不等式求出，再结合三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，若，
由正弦定理得，故，
即，由余弦定理得，故
（2）当时，，由重要不等式得，
当且仅当时取等，故有，解得，
而，故，
故面积的最大值是.
18．【答案】(1)
(2)年龄的平均数为，方差约为
【分析】（1）根据频率分布直方图可确定第百分位数位于第四组，根据第百分位数定义可构造方程求得结果；
（2）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.
【详解】（1）设第百分位数为，
，，
位于第四组：内；
由得：．
（2）由题意得，第四组应抽取人；第五组抽取人， 设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数分别为，方差分别为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数分别为，方差分别为，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
则
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
19．【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算、、，证明即可.
【详解】（1）可求得，设，则，，
设点，，
故
所以.
（2）设，，则，，，
故
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为：，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以得证.
【思路导引】利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； .