河南省名校安阳市第一中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省名校安阳市第一中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为奇函数，则（ ）
A．3B．C．0D．
5．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36B．40C．32D．42
7．已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．若的定义域为，，且对，满足，，则下列结论中，一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题.
B．命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题.
C．梯形是等腰梯形的充要条件是.
D．设，则的充要条件是.
10．从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ）
A．B．函数的一个周期为4
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）
13．已知，，且，则的最小值是 ．
14．阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求的极值.
16．陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：，其中．
(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.
17．为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为.
(1)求的值；
(2)设终止时比赛局数为，求的分布列与期望.
18．2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：．
(1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）；
(2)经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且．
19．已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.
【详解】集合，而，
所以.
故选B.
2．【答案】D
【分析】依据题意可知，根据正态曲线的对称性可知，然后计算可得结果.
【详解】由题可知：
所以，
所以
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为
由于，则．
故选B.
4．【答案】B
【分析】确定函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得a的值，验证后即可确定答案.
【详解】由题意可得，
即，且，且，
由于为奇函数，故其定义域关于原点对称，
故，
此时，定义域关于原点对称，满足，
即为奇函数，符合题意，故，
故选B.
5．【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可
【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况，
3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种，
所以共有种排法.
故选A.
7．【答案】C
【分析】构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，解得，
所以不等式 的解集为.
故选C.
【关键点拨】关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解.
8．【答案】D
【分析】结合题意得，即，且，则，结合条件，赋值可得，.
【详解】，即，
由得，
，即，
，
，，
，
又，且，即，
，故错误；
，，，
又，，，，故错误，正确.
故选.
9．【答案】BCD
【分析】根据题意，由原命题的真假即可判断其否定的真假，从而判断AB，分别验证充分性以及必要性，即可判断CD
【详解】对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题，
则其否定是假命题，故A错误；
对于B，命题“对，的个位数不等于3”是真命题，
因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确；
对于C，必要性：在等腰梯形中，，，
又因为，所以，所以.
充分性：如图，过点作，交的延长线于点E.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以.
因为，所以，所以.
又因为，所以，所以.
在和中，
所以，所以.
所以梯形为等腰梯形.
所以梯形为等腰梯形的充要条件是，故C正确；
对于D，充分性：若，则，
即，所以，
故充分性成立；
必要性：若，则，
即，所以，
所以，故必要性成立；
所以的充要条件是，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】AC
【分析】根据题意，由条件概率的公式分别代入计算，然后逐一比较，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，，
则，故A正确；
且，故B错误；
因为，，则，
则，故C正确；
且，，则，
所以，故D错误；
故选AC.
11．【答案】BC
【分析】根据奇函数的性质得到，利用赋值法判断A，令，结合，即可得到为偶函数，推出的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D.
【详解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即，
在，令，可得，故A错误；
令，因为，所以，即，
所以为偶函数，
又为奇函数，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，则，所以，
所以是以为周期的周期函数，
所以，则，故B、C正确；
由与得，
所以，
所以，，，
，，
，，
，，
，
所以
，故D错误.
故选BC.
【关键点拨】本题解答的关键是令，利用赋值法及所给条件一一计算.
12．【答案】
【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为：
，
所以的系数为．
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
14．【答案】12
【分析】根据题意，结合材料可得是公比为的等比数列，即可得到，然后代入计算，即可求解.
【详解】由题意可得，期待在次试验后，首次出现连续次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为，
若下一次试验失败，相当于重新试验，后期望仍是，
此时总的试验次数为，
即，
整理可得，即，
即是公比为的等比数列，
所以，其中，
所以.
由问题可知，，则.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)的极大值为，极小值为
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的极值即可.
【详解】（1）由已知可得，
而直线的斜率为，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故极大值为，极小值为.
16．【答案】(1)有
(2)
【分析】（1）根据列联表中的数据，计算的值，与比较可得结果；
（2）问题转化成古典概型，利用古典概型的概率计算公式计算可得.
【详解】（1）将表中的数据带入，得到
．
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关．
（2）由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
，，，，，，，，，，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，
其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有7种情况，
所以（至少有一名女生）．
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可；
（2）依题意的所有可能值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为，则乙在每局比赛中获胜的概率为，所以，
解得或，又，所以.
（2）依题意的所有可能值为，，.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
该轮结束时比赛继续的概率为.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有，，，
故的分布列如下：
所以.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据公式计算得到；
（2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，然后求即可.
【详解】（1）由题意, 知 ，
，，
所以：.
（2）去除后的，
所以直线与直线斜率相等，
，
所以：.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解；
（3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知，
令，则，
当时，在区间单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，且，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，则当时，在上单调递增，
所以无极值点，不合题意；
当时，，且；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以是函数的极大值点，符合题意；
综上所述，的取值范围是.
（3）要证，
只要证，
只要证，，
因为，则，
所以只要证对任意，有，
只要证对任意，有（※），
因为由（2）知：当时，若，则，
所以，即①，
令函数，则，
所以当时，所以在单调递增；
则，即，
由①②得，
所以（※）成立，
所以成立.
【方法总结】利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.历史
物理
合计
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合计
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2
4
6