内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了本试卷满分150分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．
2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回．
3．本试卷满分150分．考试时间120分钟．
一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，，，
所以.
故选：D
2. 角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．已知．
则点可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则.因为，
所以，所以同号，且，则ABD错误.
故选：C
3. 下列命题中，真命题为（ ）
A. 的解集为
B. 同时满足，的角有且只有一个
C. 若点为角终边上一点，则
D. 如果角满足，那么角是第二象限的角
【答案】A
【解析】对于A：的解集为，故A正确；
对于B：同时满足，的角为，，有无数个，
故B错误；
对于C：若点为角终边上一点，
当时，；
当时，，故C错误；
对于D：如果角满足，那么角是第三象限角，故D错误.
故选：A
4. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
5. 已知，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数是偶函数
C. 函数的最小值为
D. 函数的一个单调递增区间是
【答案】D
【解析】因为，，
对于A、B：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；
因为，所以函数为奇函数，故B错误；
对于C、D：因为，所以函数的最小值为，故C错误；
由，解得，
所以函数的增区间为，
所以为函数的一个单调递增区间，故D正确.
故选：D
6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得
故选:A
7. 在中，若，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，整理得到
，
即，
又，得到，所以，即，
故选：A.
8. 在中，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列关于的判断正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是
C. 图象关于直线成轴对称D. 图象关于点成中心对称
【答案】ABD
【解析】对于选项A，时，，此时为增函数；
对于选项B，的最小正周期为；
对于选项C，因为，，所以图象不是关于直线成轴对称；
对于选项D，令，，得，令得，所以图象关于点成中心对称.
故选：ABD.
10. 已知向量，，则下列命题正确的是
A. 若，则
B. 若在上的投影向量长度为，则向量与的夹角为
C. 存在，使得
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】因为，， 若，则，则，故A错误；
若在上的投影向量长度为，且，则，所以，又，所以，故B正确；
因为，，
若，则，即，
故时，即与同向，所以，
解得，故C正确；
，其中，因为，，则当时，的最大值为，故D正确，
故选：BCD．
11. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】，
由关于原点对称，得，，
而，则，，
对于A，的最小正周期，A正确；
对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误；
对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点，则，解得，D正确
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若，则________．
【答案】
【解析】因为，
解得或，
又，则，又，所以，则，
所以，所以.
故答案为：.
13. 已知向量的夹角为，且，则__________.
【答案】2
【解析】由题意知向量的夹角为，且，
故，即，则，
故答案为：2
14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________.
【答案】.
【解析】由题可知，，函数在上单调递减，
可得函数的半个周期大于或等于，即，
则，，
由，
解得：，，
而，所以当时，，
则正实数的取值范围是，
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）若与共线，求的值．
（2）若与的夹角为，求的值．
（3）求向量在向量上投影的数量．
解：（1）因为，，
所以，，
因为与共线，所以，解得；
（2）因为，，
又与的夹角为，
则，解得；
（3）因为，，
所以，，
所以向量在向量上投影的数量为.
16. （1）已知，且，求的值．
（2）计算：．
解：（1）因为，又，
又，所以，
又，所以，则，
所以
；
（2）
.
17. 已知将向量绕原点旋转到的位置，
（1）求点的坐标．
（2）求三角形面积．
解：（1）因为，所以，
设，则，，
设，若绕原点逆时针旋转，
则
，
，
所以；
若绕原点顺时针旋转，
则
，
，
所以；
综上可得或.
（2）因为，，，
所以.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域；
（3）若函数在上恰有三个零点，求的取值范围．
解：（1）由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，
即在上的值域为；
（3）由（1）知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，即在上恰有个解，
因为，所以，
则，解得，故.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）填写由函数的图象变换得到的图像的过程；先将图象上的所有点________，得到的图象；再把所得的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标________，得到的图象．
（3）若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，其中，①有解；②恒成立．补全问题（3），并求实数的范围．
解：（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
由，得，
所以函数的单调增区间为.
（2）先将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象；再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象.
（3）若选择①，不等式有解，即，
由，得，
则当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以.
若选择②，不等式恒成立，即．
由，得，
则当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．