江苏省盐城市五校2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省盐城市五校2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 41B. 61C. 62D. 82
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（ ）
A.40种B. 60种C. 125种D. 243种
【答案】D
【解析】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种.
故选：D
3. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由已知样本数据所对应的点均在直线上，
则，又，所以满足负相关，即
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】根据导数的定义可知，
，
故选：D
5. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
点到平面的距离，
故选：A.
6. 现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ）
A. 210种B. 630种C. 1260种D. 1890种
【答案】B
【解析】将7个小球按分成3组，有种分法，
再将每种分法的3组小球放到3个不同盒子里有种方法，
所以不同的放法种数是.
故选：B
7. 用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选，
4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为，
所以，
无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，
即，
由条件概率公式可得.
故选：C.
8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】要使得在上恒成立，
则，且无变号零点，
分析与的符号情况如下：
当时，，当时，，令，即，
①当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
②当时，，所以且，又，
所以
所以，满足题意；
③当时，，所以且，又，
所以,所以，满足题意；
综上，当时，在上恒成立.
所以，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D.
【答案】AC
【解析】由题设，则，A对；
由及正态分布的对称性，有，可得，B错；
由，结合对称性，则，
所以，C对；
当，有，D错.
故选：AC
10. 以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）

A. 第行中，从左到右看第个数最大B. 第行的所有数的和为
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第行中共有个数，
从左到右看第个数最大，A对；
对于B选项，第行的所有数的和为，B错；
对于C选项，由组合数的性质可得，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
11. 已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B. 当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C. 的最小值为
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】取线段的中点，连接，
因为线段中点，结合正方体的性质可知，，且，
则四边形为平行四边形，则，
则直线与所成角的为或其补角，
容易得，
则在中利用余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为，故A正确；
连接，设点到平面的距离为，
容易得的面积为，
由题意可得，得，
由正方体的性质可知，平面，
又平面，则，
又，，平面，则平面，
因，则点到平面的距离均为，
因，平面，平面，则平面，
同理可得平面，
因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，
故B错误；
依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，
则的最小值为，故C正确；
因
，
则当时，取最大值，最大值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分.
12.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________.
【答案】
【解析】∵，∴，
即，解得.
故答案为：.
13. 某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示）
【答案】
【解析】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式，
不满足题意的安排方式：
第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》：
若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式；
第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：
若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式；
第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式，
综上，满足条件的安排方式共有：种，
故答案为：
14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________.
【答案】；
【解析】由题意，，当，则，
而，
所以，由题设，.故答案为：，
四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.
（1）求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？
（2）求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？
解：（1）最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现，即3次都取到不合格产品，所以不同情形有种；
（2）最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现，即前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，所以不同情形有种.
16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为6，E为线段的中点，F为线段的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）连接，与必交于，且也是的中点，连接，
在中，又平面，平面，
所以平面；

（2）由（1），则直线与平面所成角，
即为直线与平面所成角，
由平面，平面，
故平面平面，且平面，
又平面平面，所以直线在平面上的投影为直线，
所以直线与直线所成角，即为直线与平面所成角，
如图或其补角，
在矩形中，且，而，，
所以.
17. 已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是.
（1）求n的值；
（2）展开式中的整式项共有几项？
（3）展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
解：（1）由题设，则，
整理得，故（负值舍）.
（2）由（1）知二项式，展开式通项为，，
所以时，均为整式项，共有7项；
（3）由在上单调递减，
当时，当时，则，
故在上先增后减，且，
故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项.
18. 2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为.
（1）求x的值；
（2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人,再从这9人中随机抽取2人,记这2人中女同学的人数为,求的分布列以及.
参考公式：.
参考数据：
解：（1）由题设，
可得；
（2）由（1）得列联表如下：
，
所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关；
（3）由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学，
从9人任取2人，抽到女同学人数，
则，，，
所以的分布列如下，
.
19. 函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，解方程；
（3）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
解：（1）由题设且，
当时，，即在上单调递增，
当时，
若，，即在上单调递减，
若，，即在上单调递增，
综上，时在上单调递增，
时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，则，故，即，
令且，则，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
又，即，当且仅当取等号，
所以的解为，即的解为.
（3）由且，令，则，
当时，，此时，满足题设；
当时，恒成立，
令，则，
令，则，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，且，
故时，即，时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，即，
综上，.
看现场直播
未看现场直播
男同学
x
女同学
150
250
0.1
0.01
0.001
k
2.706
6.635
10.828
看现场直播
未看现场直播
男同学
200
500
女同学
150
250
400
450
450
900
0
1
2