2024-2025学年江苏省盐城市五校联考高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市五校联考高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算C72+2A52的值是( )
A. 41B. 61C. 62D. 82
2.五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有( )
A. 40种B. 60种C. 125种D. 243种
3.在研究线性回归模型时，样本数据xi,yi(i=1,2,…,n)所对应的点均在直线y=−3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=( )
A. −1B. 1C. −3D. 2
4.已知f′(2025)=1，则limΔx→0f(2025+2Δx)−f(2025)Δx=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
5.若平面α过点A(2,3,0)且该平面的一个法向量为n=(2,1,1)，则点P(−4,−9,30)到平面α的距离为( )
A. 6B. 2 33C. 2 3D. 2 6
6.现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有( )
A. 210种B. 630种C. 1260种D. 1890种
7.用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为( )
A. 112B. 16C. 13D. 23
8.设函数f(x)=(ax−1)(b+lnx)，若f(x)≥0恒成立，则ba的最大值为( )
A. −1B. −1eC. 1eD. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X服从正态分布N9,σ2,σ>0且P(Xn)，则下列选项中一定正确的是( )
A. E(2X+1)=19
B. m+n=6
C. 若P(X≥8)=0.7，则P(8≤XP(X≤7−σ)
10.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有( )
A. 第100行中，从左到右看第51个数最大B. 第150行的所有数的和为2149
C. Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1D. C33+C43+C53+⋯+C153=C164
11.已知球O是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，MN为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是( )
A. 当P为B1C1中点时，直线DC1与D1P所成角的余弦值为 105
B. 当三棱锥P−B1C1D的体积为43时，点P轨迹的长度为2
C. PM⋅PN的最小值为−2
D. MN⋅BC1的最大值为4 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的一个方向向量为m=(−3,2,−1)，平面α的一个法向量为n=(t,t+1,9)，若l//α，则t= ．
13.某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排方式.(答案用数字表示)
14.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的k阶矩定义为EXk|Y=y=i=1nxik⋅PX=xi|Y=y=i=1nxik⋅PX=xi,Y=yP(Y=y)，其中x1,x2,⋯,xn为X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为45，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数，
则P(ξ=3,η=4)= ，Eξ2|η=5= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止．
(1)求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？
(2)求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？
16.(本小题15分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1底面是边长为2的正方形，高为6，E为线段AB的中点，F为线段CA1的中点．

(1)证明：EF//平面ADD1A1；
(2)求直线EF与平面A1DC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知3x+1 xnn∈N∗的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是1:57．
(1)求n的值；
(2)展开式中的整式项共有几项？
(3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
18.(本小题17分)
2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示(单位：人)，已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为16．
(1)求x的值；
(2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
(3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为ξ，求ξ的分布列以及E(ξ)．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考数据：
19.(本小题17分)
函数f(x)=x+alnx,a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=−1时，解方程f(x)x=eex；
(3)当x≥1时，不等式f(x)≥(1+lnx)2恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
6.B
7.C
8.C
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.−7
13.504
14.16625或0.0256 ；
15.解：(1)最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现，即3次都取到不合格产品，所以不同情形有A33=6种；
(2)最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现，即前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，所以不同情形有C32C51A33=90种.

16.解：(1)连接BD1，与CA1必交于F，且F也是BD1的中点，连接AD1，
在▵ABD1中EF//AD1，又EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1；

(2)由(1)EF//AD1，则直线EF与平面A1DC所成角，即为直线AD1与平面A1DC所成角，
由CD⊥平面ADD1A1，CD⊂平面A1DC，故平面A1DC⊥平面ADD1A1，且AD1⊂平面ADD1A1，
又平面A1DC∩平面ADD1A1=A1D，所以直线AD1在平面A1DC上的投影为直线A1D，
所以直线AD1与直线A1D所成角，即为直线AD1与平面A1DC所成角，如图∠AOD或其补角，
在矩形ADD1A1中AD=2,AA1=6，且∠AOD=2∠AA1D，而sin∠AA1D=1 10，cs∠AA1D=3 10，
所以sin∠AOD=2sin∠AA1Dcs∠AA1D=35．

17.解：(1)由题设Cn1:Cn3=1:57，则(n−1)(n−2)6=57，
整理得n2−3n−340=0，故n=20(负值舍)．
(2)由(1)知二项式为3x+1 x20，展开式通项为Tr+1=C20r(3x)20−r(1 x)r=320−rC20rx20−32r，r=0,1,⋯,20，
所以r=0,2,4,6,8,10,12时，Tr+1均为整式项，共有7项；
(3)由Tk+2Tk+1=319−kC20k+1320−kC20k=20−k3(k+1)=13(21k+1−1)在k∈{0,1,⋯,19}上单调递减，
当k=4时T6T5=1615>1，当k=5时T7T6=1518=56T21=1，
故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项．

18.解：(1)由题设1501.5x+x+150+250=16，可得x=200；
(2)由(1)得列联表如下：
χ2=900×(300×250−150×200)2450×450×400×500=45>10.828，
所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关；
(3)由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学，
从9人任取2人，抽到女同学的人数ξ=0,1,2，
则P(ξ=0)=C62C92=512，P(ξ=1)=C31C61C92=12，P(ξ=2)=C32C92=112，
所以ξ的分布列如下，
E(ξ)=0×512+1×12+2×112=23．

19.解：(1)由题设f′(x)=1+ax且x>0，
当a≥0时，f′(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a