广东省汕头市潮南区某校2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知全集，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，而，
所以.
故选：B
2. 已知复数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，且，整理得，解得或，即等价于或，且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3. 已知，则的值是（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】由题得.
故选：D
4. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】，则在上的投影向量的模为 .
故选：C
5. 如图所示，已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A
6. 已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，则新的三角形的三边分别为，因为，所以，
即为新的三角形的最大边，所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故选：B
7. 设点是线段的中点，点在直线外，， ，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 6
【答案】C
【解析】由，得，
，而
故选：．
8. 在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】在三角形中，由余弦定理，故为钝角；又，故点在三角形底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：
又，则，
故，；
则，设，，
故，当且仅当时取得等号；
也即的最小值为.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，若三点共线，则实数的可能的取值有（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】BC
【解析】由三点共线，得，则，即
所以或.
故选：BC
10. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是；
对于B，由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是；
对于C，由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是；
对于D，由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是.
故选：AC
11. 在中，内角所对的边分别为､､，已知，，则（ ）
A.
B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为
D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】由正弦定理可得， ，即，则由余弦定理得，因，则，故A错误；
得，因，则，当且仅当时等号成立，则的周长的最大值为，故B正确；
由正弦定理得，则，故当时，取最大值，此时，，故C正确；
由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若复数是纯虚数，其中，则______．
【答案】3
【解析】因为复数是纯虚数，所以,
解得：
故答案为：3
13. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，，则实数的值为______．
【答案】
【解析】由于三点共线，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
14. 如图，三点位于同一水平面，位于的北偏西30°方向，C位于的北偏东60°方向，在的正西方向，且之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为45°，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为30°，则楼房的高度为__________米.
【答案】25
【解析】因为位于的北偏西30°方向，位于的北偏东60°方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，则,,,
所以米.又从处观察塔尖，测得仰角为45°，所以米.
过作的垂线，垂足为（如图），
则米，，所以米，
所以楼房的高度为米.
四、解答题（共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知中，内角的对边分别为；
（1）若，，，求的面积；
（2）若，求角的值.
解：（1）由正弦定理，可得，又，
所以，则，
.
（2）由，可得，
由余弦定理得，又，
所以.
16. （1）已知，，与的夹角，求．
（2）已知，，与的夹角为60°，求．
（3） 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，.
解：（1）．
（2）
．
（3）因为，， 与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，可得：.
17. 已知为实数，复数．
（1）当为何值时，复数的模最小？
（2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时的值．
解：（1），
当且仅当时，复数的模最小，为．
（2）当复数的模最小时，．
又点位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．所以的最小值为，
此时，．
18. 如图，在梯形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，且，证明：只有一解.
解：（1）在中由正弦定理，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，
所以，即外接圆的半径为；
（3）因为，，且，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，
在中由余弦定理
，所以，所以只有一解.
19. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
解：（1）∵在中，：
∴结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故 ,
由于为锐角三角形，故,故，
因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，故三角形的面积为，
故边上的高为，