重庆市西南大学附属中学2025届高三下学期全真模拟数学试题 含解析

这是一份重庆市西南大学附属中学2025届高三下学期全真模拟数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知 ，则， 已知 ，则 的最小值为等内容，欢迎下载使用。
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法，可得集合的元素，利用交集，可得答案.
【详解】由 ，
，
则 .
故选：B.
2. 已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量线性运算以及垂直向量的坐标表示，求得参数值，利用向量模长的坐标计算公式，可得
答案.
【详解】由 ，且 ，则 ，解得 ，
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即 ，可得 ，所以 .
故选：B.
3. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 设 ， 由 赋 值 法 可 得
.
【详解】设 ，
则 ，
，
因此， .
故选：C.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整体法求得 ，进而可求得 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
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所以 .
故选：A.
5. 已知 为数列 的前 项和，若 ，则 等于（ ）
A. 0 B. 1012 C. D. 2025
【答案】B
【解析】
【分析】根据 计算得 ，再应用前 n 项和计算求解.
【详解】因为 ，当 ，
两式作差得 ，
所以 ，所以 ，又因为 ，
因为 ，当 时，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知过点 的直线与抛物线 相切，切点为 ，抛物线的焦点为 ，则线段 的长为
（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设出直线方程，联立求得切点坐标，利用两点距离公式，可得答案.
【详解】由题意可得过点 的直线的斜率存在且不为零，则可设为 ，
联立可得 ，消去 可得 ，
，解得 ，即 ，
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将 代入 ，解得 ，则 或 ，
易知 ，所以 ，
故选：C
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算律及余弦函数的取值范围即可求解.
【详解】设 ，则
，
因为 ，所以当 时， 取最小值 ，
故选：C.
8. 对于复数 ，如果复数 同时满足以下两个条件：① ，且 ，使得 ，②
，则称 为 的反演.已知复数 的实部等于 1， 为 的反演，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则 ，利用判别式法可求 的最小值.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，故 ，故 ，
故 ，
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设 ，则 ，其中 ，
若 ，则 ；
若 ，则 即 ，
故 ，
故 ，故 ，
故 ，
故选：C.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面边长为 ，且高为 ，则下列说法正
确的有（ ）
A. 该四棱台的体积为
B. 该四棱台的侧面与底面所成角的正切值为
C. 若 为 的中点，则 平面
D. 该四棱台的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用台体体积公式可判断 A 选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断 B 选项；利用线
面平行的判定定理可判断 C 选项；设出球心的坐标，根据球心到点 、 的距离相等，可求出球心的坐标，
进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，由台体体积公式可知，
该正四棱台的体积为 ，A 对；
对于 B 选项，设该正四棱台的上底面和下底面的中心分别为 、 ，则 底面 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
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以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设该正四棱台的侧面和底面所成角为 ，则 为锐角，
且 ，所以 ，
故 ，B 错；
对于 C 选项，当点 为 的中点时，易知 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 ，C 对；
对于 D 选项，易知该正四棱台外接球球心 直线 上，
设球 的半径为 ，设点 ，
由 可得 ，解得 ，
故 ，因此，该四棱台的外接球表面积为 ，D 对.
故选：ACD.
10. 现将 、 、 、 四个数随机排成一列，记事件 为“从左至右第 个数恰好是 ”，则下列说法正确
的有（ ）
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A. B. 事件 与 相互独立
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用排列计数原理可判断 A 选项；利用独立事件的定义可判断 B 选项；利用并事件的概率公式可
判断 C 选项；利用容斥原理可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，由题意可得 ，A 对；
对于 B 选项，由题意可得 ， ，
所以，事件 与 不独立，B 错；
对于 C 选项， ，C 对；
对于 D 选项，由题意可知 ，
且 ，如下韦恩图所示：
因为
，
，
因为
，
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故
，D 对.
故选：ACD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有（）
A. 若函数 关于直线 对称，则
B. 当 时，函数 在 上单调递减
C. 当 时，函数 在 有 1 个极值点
D 函数 最多有 3 个零点
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 选 项 A， 利 用 对 称 性 定 义 ， 通 过 代 数 变 形 得 出 ； 选 项 ， 在 时 ， 导 数 为
，当 时导数恒负；选项 C：在 区间内，导数始终为负，不存在极值点；选项
D：函数的零点可转化为函数图象的交点.
【详解】选项 A，若 关于 对称，则对任意 ，有 ，
代入函数表达式： ，
要使 ，需 ，即 对任意 成立，故 ，
故 A 正确；
选项 B，当 且 时， ，故 ，求导得：
因为 时， ，而 ，故 ，函数 在 单调递减，故 B 正确；
选项 C，当 时，
当①当 时， ， 在 上恒成立；
②当 时， ， ，显然 在 单调递减，
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令 ，得 ，因 ，故 ，但该解不在 区间内，所以 在
恒成立；
综上， 在 上恒成立，故 在 上无极值点，故 C 错误；
选项 D，函数 等价于 ，即 ，
令 ， ， 的图象如图所示， 的图象经过定点 ，
如图所示， 与 最多只有 3 个不同的交点，即函数 最多有 3 个零点，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某工厂生产的一批零件的尺寸 服从正态分布 ，且 ，规定零件的尺寸与
的误差不超过 即为合格，现从这批零件中抽取 件，估计合格零件的个数为_______个.
【答案】
【解析】
【分析】利用正态密度曲线的对称性求出 ，乘以 即可得出答案.
【详解】因为 服从正态分布 ，且 ，
则 ，
因此，从这批零件中抽取 件，估计合格零件的个数为 .
故答案为： .
13. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 _______.
【答案】2026
【解析】
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【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：
由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案.
【详解】法一：
由函数 是 上的奇函数，则 ，
由 ，令 ，则 ；
则
，
由
.
法二：
由函数 是 上的奇函数，则 ，
由 ，令 ，则 ；
由 ，令 ，则 ；
设 ，则 ， ，即 ，符合题意，
所以 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若存在实数 使得函数图象上的最低点或最高点恰有 2 个在
椭圆 的内部（包含边界），则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】令 即可求出最值处的横坐标，由最值点在椭圆内部，故可将最值点的坐标
代 入 中 ， 得 出 关 于 的 不 等 式 ， 因 存 在 两 个 最 值 点 ， 故 不 等 式
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存在两个相邻的 ，最后利用两端点距离范围为 可求解.
【详解】令 ，则 ，
因存在实数 使得函数图象上 最低点或最高点恰有 2 个在椭圆 的内部（包含边界），
则存在两个相邻的 ，使得 成立，
即 ，则 ，
则 ，
则 ，得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 为 边上一点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）依题意可得 ，再由 计算可得.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 .
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 且
分别是 的中点.
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）设 为 的中点，连接 ，利用 ， ，可证 平面 ，
进而可证结论；
（2）以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，求得平面 的
一个法向量和平面 的一个法向量，利用向量法可求二面角 的余弦值.
【小问 1 详解】
设 为 的中点，如图，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 .
小问 2 详解】
因为平面 平面 ，且平面 平面
所以 平面 ，
以 为坐标原点，
以 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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因为 ，所以 ，
又因为 分别为 的中点，所以 ，则
所以
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，所以 ，
平面 的一个法向量为 ，
，所以二面角 的余弦值为 .
17. 已知函数 .
（1）当 时，直线 与曲线 相切，求实数 的值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可求切点的横坐标，从而可求切点，代入切线方程后可得参数的值；
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（2）原不等式即为 ，构建新函数 ，利用导数可求其最大值，故可
求参数的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时，函数 ，
设函数 与直线 相切 切点为 ，
因为直线 的斜率为 1，所以 ，
解得 或 （舍）,故切点为 ，代入切线方程 ，
得 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
令 ，因为 对任意的 恒成立，所以 .
则 .
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 在 为减函数，
而 ，
所以当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为减函数，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
18. 已知椭圆 的焦距为 4，上顶点为 ，右焦点为 ，坐标原点为 ，且
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为椭圆上两个不同的动点（均不与 重合）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为 的垂心，求直线 的方程；
（3）若 是 的角平分线，问：直线 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
【答案】（1）
（2）
（3）过定点，
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，进而可求得 ，可求椭圆方程；
（2）由 ，可求得 ，设直线 方程为： ，利用根与
系数的关系可求得 的值；
（3）设 ，直线 ，利用点到直线的距离公式可求得点 在直线
，同理可求得点 也在直线 上，可得直线 的
直线方程，进而可求定点.
【小问 1 详解】
由题： ，故
又 ，故 ，从而
因此椭圆方程为：
【小问 2 详解】
由（1）知：
由题： 为 的垂心，所以 且 ，
则必有 ，设直线 方程为：
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联立直线 与椭圆： 得：
令 ，解得： ，由韦达定理：
则 ，故 ，
即：
整理得： ，
将 代入化简得： ，解得 或
当 时，直线 过点 ，不符合题意，舍去
当 时，满足 ，符合题意.
故直线 方程为：
【小问 3 详解】
设 则
因为直线 的斜率必存在，所以直线 ，即：
设 到直线 与 的距离均是 ，从而
平方得： ，
又由于 ，故 ，
整理得： 即点 在直线
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同理：点 也在直线 上
故直线 的方程为
将其按照参数 进行整理：
令 ，解得 ，从而定点坐标为 .
19. 已知有穷数列 共有 2025 项，且 .记 为数列 的前
项和.
（1）求 的最小值；
（2）对 ，证明： ；
（3）设满足 的所有 构成集合为 ，现从 中随机取一个数列，若该数列满足 ，
则试验成功，否则试验失败.记 为该试验成功的概率，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）列举法计算得出最小值；
（2）根据已知条件累加计算求出 即可证明；
（3）结合（2）分类结合组合数公式计算证明.
【小问 1 详解】
直接枚举得：
0 1 2 3 6
0 1 2 0
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0 1 1 0
0 1
0 0 1 0
0 0
故 的最小值为 .
【小问 2 详解】
由题： ，平方得： ，故 ,
则对 有 ，
以上 个式子累加得： ，故 ，
故 .
经检验 时命题也成立，从而对于 ,
【小问 3 详解】
由（2）得： ，解得 或 ，
显然 不为空集，以下便是一个满足要求的 ：
只需证明：满足 的 的个数多于满足 的 的个数，
引理：若 共有 项，且 ，
且 ，（这里 ）则这样的数列有 个.
引理证明：令 ，则 满足 ，
且 或 ，
我们先证明 与 一一对应：
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一方面，对于每个 ，显然有唯一的一个绝对值数列 与之对应；
另一方面，对于每个 ，则有 确定，只需证明每个 的符号此时也唯一确定，
若 ，则必有 ，若 ，则必有 ，
这样可确定 到 的符号，又因为 给定，从而此时有唯一的 与之对应.
从而 与 一一对应.从而只需计算 的个数.
注意到 ，且 或
先忽略限制条件 .设此时的 有 个.
则由 ：
此时相当于在 个位置中放入 ，设有 个 1，则有 个 ，
从而有 ，故 ，从而 .
再计算其中不满足 的个数 .
即存在 （不妨设 是满足 的最小下标）
构造数列 满足：
则每个不满足 的数列 唯一对应一个数列 ；
另一方面，若 满足： ，
则必存在 （不妨设 是满足 的最小下标），
从而令 ，
可唯一确定一个不满足 的数列 ，
从而每个不满足 的数列 与数列 一一对应.从而 的个数.
注意到 满足： ，
则由 知：相当于在 个位置中放入 ，
设有 个 1，则有 个-1，从而有 ，
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故 ，从而 .
故满足条件的 有 个.从而引理得证.
回原题：由引理只需证明： ，
这等价于证明 ，
即证明： ，
即证明： ，
即证： ，这显然成立.综上，命题得证.
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