2024-2025学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高一下学期第一次模块考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高一下学期第一次模块考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足1−2iz=4−3i，则z的虚部为( )
A. 2B. 1C. iD. 2i
2.已知向量a=(3,1),b=(2,3),c=(−1,2)，若向量λa+c与a+b平行，则实数λ=( )
A. −319B. 1311C. 2D. −617
3.在▵ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c.若A=π4,csB=513,a=13，则c=( )
A. 17B. 7C. 34D. 13
4.已知角θ的终边过点P(−3,1)，则sin32π−2θ的值为( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为( )
A. 7B. 10C. 11D. 13
6.如下图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，F为线段AC上的点，若AF=λFC，且满足AD//平面PEF，则λ=( )
A. 12B. 23C. 1D. 2
7.如图，在▵ABC中，D为边BC上靠近点B的四等分点，∠ADC=π3，AD=2，▵ABC的面积为4 3，则sin∠BCA等于( )
A. 12B. 217C. 3 2114D. 2114
8.已知正六边形ABCDEF的边长为3，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM⋅PN的最大值是( )
A. 132B. 8C. 354D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是( )
A. 若，n⊂β，则B. 若，m⊂α，则
C. 若，m⊂α，n⊂β，则D. 若，，则
10.已知函数y=2sinx+π3的图象横坐标变为原来的12倍后得到g(x)，再将g(x)的图象向右平移π3个单位，得到f(x)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x
B. 直线x=−π12是函数f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在区间11π12,π上单调递增
D. 若关于x的方程f(x)−m=0在π12,7π12上有1个实数根，则m∈2∪[−1,1]
11.已知函数f(x)=cs2x+asinx,a≠0，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 当a=1时，函数f(x)的值域为−2,98
C. 当a=−2时，函数f(x)的单调递增区间为2kπ+π2,2kπ+7π6(k∈Z)
D. 若a=1，函数f(x)在区间0,kπ(k∈Z)内恰有2025个零点，则k=1350
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数2+i1−i2的模是 ．
13.如图，在等腰▵ABC中，底边BC=2，D，E是腰AC上的两个动点，且形BD+BE=xBA+yBC，则当1x+4y取得最小值时，BC⋅BD+BE的值为 ．
14.已知▵ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a,b为单位向量，且a与b的夹角为60°．
(1)求a−2b的值；
(2)若向量2a−λb与λa−b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，正方形ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱上异于AD,BC的母线，M,N分别是DE,BF的中点，AB=2,DF= 3．
(1)证明：MN//平面ABE；
(2)设平面BDE与圆O′所在平面的交线为l，证明：l//平面BEF．
17.(本小题15分)
已知平面向量a=csx, 3sinx,b=2csx,2csx,f(x)=a⋅b−1．
(1)求函数f(x)在0,π上的单调区间；
(2)当x∈0,π2时，求函数y=f(x)的最小值及此时x的值．
18.(本小题17分)
如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥(如图2).在图2中完成下列各题．
(1)求证：平面PMN//平面ABC．
(2)求四面体ACMN的体积．
(3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得DE//平面ABC？若存在，求OEEB的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
19.(本小题17分)
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点(以下简称“T点”).通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当▵ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当▵ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“T点”.试用以上知识解决下面问题：已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．
(1)若 3b−csinA= 3acsC，则
①求A；
②若bc=4，设点P为▵ABC的“T点”，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(2)若acsB−bcsA=c，设P点为▵ABC的“T点”，|PB|+|PC|=2t|PA|，求实数t的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.C
6.A
7.D
8.C
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.52
13.203
14. 3−1或−1+ 3
15.解：(1)对|a−2b|先平方可得：|a−2b|2=(a−2b)2
展开得：|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2
因为a，b为单位向量，所以|a|=|b|=1，则a2=|a|2=1，b2=|b|2=1．
又因为a与b的夹角为60°，可得：a⋅b=|a||b|cs60°=1×1×12=12
将a2=1，b2=1，a⋅b=12代入|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2可得：
|a−2b|2=1−4×12+4×1=1−2+4=3
所以|a−2b|= 3．
(2)因为向量2a−λb与λa−b的夹角为锐角，所以(2a−λb)⋅(λa−b)>0且2a−λb与λa−b不同向共线．
可得：(2a−λb)⋅(λa−b)=2λa2−(2+λ2)a⋅b+λb2
将a2=1，b2=1，a⋅b=12代入上式可得：2λ×1−(2+λ2)×12+λ×1>0
整理得：2λ−1−λ22+λ>0，即−λ22+3λ−1>0，得：λ2−6λ+2