长沙市长铁一中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题及参考答案

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.已知复数，，其中为虚数单位，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A.5B.2C.3D.4
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
5.半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）
A.B.C.D.
6.已知，，则（ ）
A.B.7C.D.
7.把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（ ）
A.B.C.D.
8.在△ABC中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确是（ ）

A.①是棱台B.②是圆台
C.③是四面体D.④是棱柱
10.已知复数，以下说法正确的是（ ）
A.的实部是5
B.
C.
D.在复平面内对应的点在第一象限
11.函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ）

A.
B.
C.的零点形成的集合为
D.单调递减区间为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设为虚数单位，则________．
13.的内角的对边分别为，若，，，则___________．
14.若，则的值是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.）
15.已知向量，.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
16.如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
17.设函数．
（1）求函数最小正周期和对称轴方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值．
18.在△ABC中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若周长为6，求△ABC的面积；
（3）若△ABC为锐角三角形，求的范围．
19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量；
（2）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（3）已知，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．