湖北省孝感市八校2025届高三下学期5月三模联考试题 数学 含答案

这是一份湖北省孝感市八校2025届高三下学期5月三模联考试题 数学 含答案，共8页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a>b,则下列不等式中一定成立的是( )
A.1ab2
C.ln a>ln bD.2a-b>1
2.已知x∈−π2,0,sin4x+cs4x=12,则sin x-cs x=( )
A.2B.-2
C.22D.-22
3.已知复数z满足(z+i)i=2+3i,则|z|=( )
A.2B.3
C.13D.32
4.某保险公司销售某种保险产品,根据2023年全年该产品的销售额(单位:万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比,绘制出如图所示的双层饼图。根据双层饼图,下列说法正确的是( )
A.2023年第四季度的销售额为280万元
B.2023年上半年的总销售额为500万元
C.2023年2月份的销售额为60万元
D.2023年12个月的月销售额的众数为50万元
5.如图,在一个120°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱AB垂直,若AB=2,AC=1,BD=2,则CD的长为( )
A.2B.3
C.23D.4
6.若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )
A.12B.33
C.22D.24
7.记函数f(x)的导函数为f'(x)。若f(x)=exsin 2x,则f'(0)=( )
A.2B.1
C.0D.-1
8.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A⊆B B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=lga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则( )
A.0f(2 023) D.f(a+2 022)0,q>0,则S2n-1·S2n+1>S2n2
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=72,那么BC= 。
13.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 。
14.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-km+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(7分)
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时,厂家获得的利润最大?(8分)
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs Csin(A-B)=cs Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值; (7分)
(2)若tan A=2,a=45,求c。(8分)
17.（本小题满分15分）
如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在棱PB上,且PN=14PB。
(1)证明:MN∥平面PDC;(7分)
(2)在棱BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由。(8分)
18.（本小题满分16分）
在如图所示的多面体中,AB=AD,EB=EC,平面ABD⊥平面BCD,平面BCE⊥平面BCD,点F,G分别是CD,BD的中点。
(1)证明:平面AFG∥平面BCE;(8分)
(2)若BC⊥BD,BC=BD=2,AB=2,BE=5,求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值。(8分)
19.（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列。
(1)求数列{an}的前n项和Sn; (8分)
(2)若数列{bn}的首项b1=1,bn+bn+1=(2)an,求数列{b2n}的通项公式。(8分)
高三数学试题答案
一、选择题：
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.AC。 10.ABD。 11.BC。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 9。 13. 13。 14. (0,4) 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解 (1)由题意可知,当m=0时,x=1,所以1=3-k,解得k=2,即x=3-2m+1,每1万件产品的销售价格为1.5×8+16xx万元,所以2023年的利润y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83−2m+1−m=28−16m+1-m(m≥0)。即y与m之间的函数关系式是y=28-16m+1-m(m≥0)。
(2)由(1)知y=-16m+1+(m+1)+29(m≥0)。因为当m≥0时,16m+1+(m+1)≥216m+1·(m+1)=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21,所以当该厂家2023年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元。
16.（本小题满分15分）
解 (1)由已知得cs C(sin Acs B-cs Asin B)=cs B(sin Ccs A-cs Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cs Csin Acs B=cs Asin A,因为sin A>0,所以2cs Ccs B=cs A。又cs A=-cs(B+C)=-cs Bcs C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cs Ccs B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=tan B+tan Ctan Btan C−1=tan B+tan C2≥tan Btan C=3,当且仅当tan B=tan C=3时等号成立,故tan A的最小值为3。
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=22,由正弦定理,得c=asin Asin C=52;当tan C=3时,sin C=31010,由正弦定理,得c=asin Asin C=310。综上,c=52或310。
17.（本小题满分15分）
解 (1)证明:在四边形ABCD中,因为AB=BC=3,AD=CD=1,所以△ABD≌△CBD,所以AC⊥BD,且M为AC的中点。因为AD=CD=1,∠ADC=120°,所以DM=CDcs 60°=12,AC=2CDsin 60°=3,则△ABC为等边三角形,BM=32×3=32,因为在△PDB中,DMBM=PNBN=13,所以MN∥PD,又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,所以MN∥平面PDC。
(2) 过点M作ME⊥AD,垂足为点E,延长EM交BC于点Q,连接NQ,NE,如图。因为PA⊥平面ABCD,EQ⊂平面ABCD,所以PA⊥EQ,又EQ⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以EQ⊥平面PAD,又EQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ⊥平面PAD,故存在这样的点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD。在Rt△DME中,∠EMD=90°-60°=30°,在△BQM中,∠QBM=∠BMQ=30°,∠BQM=120°,由BM=32,BQsin 30°=BMsin 120°,可得BQ=BM3=32,即Q为BC的中点。故当Q为BC的中点时,平面MNQ⊥平面PAD。
18.（本小题满分16分）
解 (1)证明:如图,取BC的中点H,连接EH,因为EB=EC,所以EH⊥BC,又平面BCE⊥平面BCD,平面BCE∩平面BCD=BC,EH⊂平面BCE,所以EH⊥平面BCD。同理可得AG⊥平面BCD,所以EH∥AG。因为AG⊄平面BCE,EH⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE。因为点F,G分别是CD,BD的中点,所以FG∥BC,又FG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE。因为AG∩FG=G,AG,FG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE。
(2)因为BC⊥BD,BC∥FG,所以FG⊥BD。由(1)知AG⊥平面BCD,所以GF,GB,GA两两垂直。
如图,以G为原点,GF,GB,GA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。因为BC=BD=2,AB=2,BE=5,所以GA=GB=1,BH=1,EH=2,则A(0,0,1),B(0,1,0),D(0,-1,0),C(2,1,0),E(1,1,2),所以AC=(2,1,-1),CE=(-1,0,2),易知平面AFG的一个法向量为DB=(0,2,0)。设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=0,n·CE=0,即2x+y−z=0,−x+2z=0,得y=−3x2,z=x2,取x=2,得n=(2,-3,1)。设平面AFG和平面ACE的夹角为θ,则cs θ=|cs|=|n·DB||n||DB|=62×14=31414,所以平面AFG和平面ACE夹角的余弦值为31414。
19.（本小题满分16分）
解 (1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以a22=a1·a4,又等差数列{an}的公差为d=2,所以(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的前n项和Sn=n·a1+n(n−1)2·d=n2+n。
(2)bn+bn+1=(2)an=(2)2n=2n ①,当n=1时,b1+b2=2,可得b2=1,可得bn+1+bn+2=2n+1 ②,由②式减①式,得bn+2-bn=2n+1-2n=2n,所以b2n=(b2n-b2n-2)+(b2n-2-b2n-4)+…+(b4-b2)+b2=22n-2+22n-4+…+22+1=4(1−4n−1)1−4+1=4n−13,且b2=1符合上式,所以b2n=4n−13。题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
B
C
A
C