甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共17页。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号准确填（涂）写在答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质可求解∠3=∠1=60°，利用对顶角的性质可求解．
【详解】解：如图：
∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=60°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求解∠3的度数是解题的关键．
2. 目前检测出的最小的新型冠状病毒的半径平均约为60纳米左右，即 0.00000006 米，用科学记数法表示0.00000006正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5B. （﹣2a2）3=﹣6a6C. （2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣1D. （2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1
【答案】D
【解析】
【详解】解：A．a2与a3不能合并，故本项错误；
B．（﹣2a2）3=﹣8a6，故本项错误；
C．（2a+1）（2a﹣1）=4a2﹣1，故本项错误；
D．（2a3﹣a2）÷a2=2a﹣1，本项正确，
故选D．
【点睛】本题考查1、整式的除法；2、合并同类项；3、幂的乘方与积的乘方；4、平方差公式．
4. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A. 频率就是概率B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【解析】
【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，
可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
所以D选项说法正确,
故选D．
5. 下列算式①②③④，宜用平方差公式计算的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，理解公式是解题的关键．平方差公式：，据此对各种变形进行判断即可求解．
【详解】解：①不符合平方差公式形式，故此项不符合题意；
②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意；
③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意；
④，符合平方差公式形式，故此项符合题意；
故选：A．
6. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，若，则∠AEF等于 .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵矩形ABCD沿EF对折，
∴∠BFE=∠2，
∴∠BFE=（180°-∠1）=×（180°-50°）=65°，
∵，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°-65°=115°．
故选D．
7. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ）
A 抽10次奖必有一次抽到一等奖
B. 抽一次不可能抽到一等奖
C. 抽10次也可能没有抽到一等奖
D. 抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，
故选：．
【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握概率是对事件发生可能性大小的量的表现是解题的关键．
8. 已知是一个完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故选：B．
9. 如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可．
【详解】解：选项B中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，，（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
而选项A中，与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
10. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴可以验证成立的公式为．
故选：D．
11. 如图，两直线、平行，则（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
12. 与互余，与互补，，那么_________．
【答案】##153度
【解析】
【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键．
根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数．
【详解】∵与互余， ，
∴，
∵与互补，
∴．
故答案为：．
13. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币 ” 的实验数据：
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为 _________ （精确到) ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了频率估算概率，理解表格信息是关键．
根据表格信息可得频率在左右，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为，
故答案为： ．
14. 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案是：同位角相等，两直线平行．
【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．
15. 若，，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了逆用同底数幂的除法公式，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据即可算出答案．
【详解】解：，，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 75 分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算下列各题：
（1） ；
（2）；（用整式的乘法公式进行计算）
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）1 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，平方差公式，零指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，化简绝对值，然后再从左到右计算即可；
（2）变形后，利用平方差公式进行计算；
（3）先算乘方，然后从左到右进行进行计算即可；
（4）先去括号，再合并同类项，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式

；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
17. 已知，求代数式的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】这道题主要考查的就是代数式求值，首先要弄清楚题目的含义，然后根据题目中的信息，利用公式进行求解.
【详解】解：当时，
原式

=0
【点睛】这道题主要考查的就是代数式求值，首先要弄清楚题目的含义，然后根据题目中的信息，利用平公式进行求解，注意计算的准确性.
18. 若的结果中不含项，则a 的值为多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案．
【详解】解：


因为乘积中不含项，则，
即．
19. 如图，一块三角形土地ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角形ADE，使DE∥BC，请作出DE.
【答案】作图见解析.
【解析】
【分析】过点D作∠ADE=∠B即可，通过同位角相等，可得两直线平行．
【详解】如图．
【点睛】熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
20. 定义一种新运算“*”： ，比如：．
（1）求的值；
（2）已知，请根据上述运算，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，负整数指数幂的意义，解一元一次方程，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）根据“”列式计算即可；
（2）根据新定义列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 在一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的黑、 白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把 它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；
（2）假如你去摸一次，摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是. ______ （精确到）
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）
（2），
（3）白球有12个，黑球有8个
【解析】
【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
（1）大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是关键，观察表格找到频率逐渐稳定到的常数即可；
（2）由（1）可知，白球的概率，从而算得黑球的概率；
（3）用球的总个数乘以各自的频率即可求得球的个数．
【小问1详解】
解：根据表格可得，当很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
【小问2详解】
解：摸一次摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为；
故答案为：，；
【小问3详解】
解：黑球有：（个）
白球有：（个）
答：白球有12个，黑球有8个．
22. 填写下列空格完成证明：如图，，，，求．
解：
（理由是：______）

（理由是：______）
∴______（理由是：______）
∴______（理由是：______）
∴_____°．
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，根据平行线的性质和判定进行证明即可得到答案．
【详解】解：，
．（两直线平行，同位角相等）
，
，（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，同旁内角互补），
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
23. 先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若−6n+9=0，求m和n的值．
∵−6n+9=0
∴−6n+9=0
∴
∴m+n=0，n−3=0
∴m=−3，n=3
问题：若−2xy+4y+4=0,求的值．
【答案】
【解析】
【分析】参照例题，将拆分成两个，利用两次完全平方公式化简，再根据平方数的非负性列出等式求出x和y的值，最后将x和y的值代入求解即可．
【详解】
，
将代入得：．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方数的非负性、以及有理数的乘方，参照例题求出x和y的值是解题关键．
24. 请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：
（1）的度数为__________；
（2）与有何数量关系：______；
（3）与有何数量关系：__________；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据B、E、C三点共线可求得结论；
（2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余；
（3）由三点共线可得出结论．
【小问1详解】
解：根据折叠的过程可知：，
∵，三点共线
∴．
故答案是：．
【小问2详解】
∵，
∴．
故答案是：．
【小问3详解】
∵三点共线，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到之间的关系．
25. 小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算：
．
请按照小明的方法：
（1）计算；
（2）直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据题意以及平方差公式运算求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
26. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________；
（2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数．
【答案】（1）35 （2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数；
（2）先求出，由（1）可知，再由平角定义得，据此可得与间的数量关系；
（3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：过点作，如图1所示：
直线，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：35．
【小问2详解】
解：与间的数量关系是：，理由如下：
如图2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
【小问3详解】
解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图3所示：
，，
，
设，
则，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
②当在直线的下方时，如图4所示：
同理得：，
设，
则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
实验者
德 摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
掷币次数
6140
4040
10000
36000
出现“正面朝上” 次数
3109
2048
4979
18031
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
488
600
摸到白球的频率