甘肃省兰州市第五十六中学2024-2025学年七年级下学期期中试卷 数学（含解析）

这是一份甘肃省兰州市第五十六中学2024-2025学年七年级下学期期中试卷 数学（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，
故选：C．
【点睛】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．
2. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴用科学记数法表示为；
故选D．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3. 下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同位角，熟练掌握同位角的特征是解题的关键．根据同位角的特征逐一判断即可．
【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意
B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意．
故选：．
4. 下列计算不正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则、幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故选项计算正确，不符合题意；
B、，，故选项计算正确，不符合题意；
C、，故选项计算不正确，符合题意；
D、，故选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是：（ ）
A. 4B. 6C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则，
即，
四个选项中只有10符合条件．
故选：C．
6. 下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为 ，需满足两数之和与两数之差的乘积．
根据平方差公式的结构特征判断即可．
详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，符合题意，
故选：D．
7. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：如图，
设腰长为，一腰的中线为，
则或，
解得：，
∴或1，
①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理；
②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理；
所以，该等腰三角形的腰长为，
故选：C．
8. 若可以配成一个完全平方公式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出，求出即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：D．
9. 若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可．
【详解】解：，
，，
因为，
所以，
故选：D．
10. 如图，在中，，，是内部的射线且，过点A作于点E，过点B作于点给出下面四个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由于点E，于点F，证明，则，可判断①正确；再证明，得，，由，可判断③正确，由，，推导出，可判断②错误；于是得到问题的答案．
【详解】解：于点E，于点F，
，，
，故①正确；
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，故③正确，
，，
，故②错误；
故选：B．
11. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④；⑤沿折叠，与重合．其中正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则①正确；证出，根据全等三角形的性质可得，则②正确；根据平行线的性质可得，由此可得，则③错误；根据角的和差可得，则④正确；根据可得⑤正确．
【详解】解：∵直线，，
∴，
由题意可知，，
∴，则①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，则②正确；
又∵直线，
∴，
∴，则③错误；
∵，，
∴，
∴，则④正确；
∵，
∴沿折叠，与重合，则⑤正确；
综上，正确的有4个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
12. 若（a、b、c为常数），则_____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．计算多项式乘以多项式可得，则可得，代入计算即可得．
【详解】解：，
∵，
∴（为常数），
∴，
∴，
故答案：0．
13. 如图，在的正方形网格中，等于________．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图
由题意得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，，则的长度为_____ ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据推出，根据全等得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
15. 如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方公式的变换，可求出阴影部分面积．
【详解】解：∵两个正方形边长分别为a，b，
∴，
∴， ，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴S阴影．
故答案为：9
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，已知，，．求证：．
证明：因为，
所以（ ）
所以，（ ）
因为，
所以（ ）．
所以____________（ ）．
【答案】垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案．
【详解】证明：因为，
所以（垂直的定义）
所以，（直角三角形的两个锐角互余）
因为，
所以（ 等角余角相等 ）
所以（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行．
18. 先化简，再求值：．其中．
【答案】3ab-3b2，-2
【解析】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=2a2-ab-b2-2a2+4ab-2b2
=3ab-3b2，
当时，原式=1-3=-2．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：，，，，
，，
，
．
20. 如图， 已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于a．
【答案】见解析
【解析】
【分析】①作射线AM，在射线AM上截取AC＝a．
②分别在直线AC的上方作∠NAC＝α，∠ECA＝2α，射线CE交射线AN于点B，△ABC即为所求．
【详解】解：如图，

如图，△ABC即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21. 关于的代数式化简后不含有项和常数项
（1）求和的值．
（2）若，求：代数式的值．
【答案】（1），
（2）5
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法和加减运算、代数式求值．
（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得a、m值；
（2）根据，求得n值，然后代值求解即可．
【小问1详解】
解：
，
因代数式中不含项与常数项，
，，
，；
【小问2详解】
解：∵，，，
，
∴，
解得，
．
22. 如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
23. 如图，在中，，D是上一点，，且，过M作交于E．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
24. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
（1）求的值；
（2）若运算的结果为108，求t的值；
（3），，，则的值为 ．
【答案】（1）96 （2）
（3）21
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．
（1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得；
（2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得；
（3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得．
【小问1详解】
解：由题意得：
．
【小问2详解】
解：由题意得：
，
∵运算的结果为108，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴
，
故答案为：21．
25. 如图，米，于点B，于点A，已知米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．
（1）如图，______．（用t的代数式表示）
（2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值．使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平方米
（2）的值为3或4
【解析】
【分析】（1）先根据路程速度时间得出米，再利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于，所以当与全等时，分两种情况：①；②．根据全等三角形对应边相等列出方程，即可求解．
【小问1详解】
米，，米，
（平方米）．
故答案为：平方米；
【小问2详解】
由题意可得，，，．
当与全等时，分两种情况：
①如果，那么，，
，，
解得；
②如果，那么，，
，，
解得，．
故所求的值为3或4．
【点睛】本题结合动点问题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，难度适中．用的代数式表示出是解决第（1）小题的关键，进行分类讨论是解决第（2）小题的关键．
26. 已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
【答案】（1），，
（2）成立，证明见解析
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可；
（2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系；
（3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
【小问1详解】
解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长到点G，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：或或，理由如下：
，
如图③，在上截取，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
，
如图④，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
；
由（1）、（2）可知，；
如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系；
综上，线段、、之间的数量关系为：或或．