陕西省渭南市临渭区2025届高三下学期质量检测（三模）数学试题（解析版）

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1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】因为（为虚数单位）是纯虚数，
所以，解得.
故选：D
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合的不等式为：，可求解为.
所以集合.
从而集合的并集为：.
故选：B.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可知，或，，此时，
即“”“”；
但当时，取，，此时，
即“” “”，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知非零向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】非零向量在向量上的投影向量为，可得，
即，又，所以，
所以.
故选：C
5. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）

A. 0.62B. 0.56C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
设弧AB对应圆心是O，根据题意可知，，，则，
因为，，，
则在△ACB中，，
所以.
故选：A.
6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A. 300B. 450C. 600D. 750
【答案】C
【解析】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，
因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.
所以，所以，
若，则.
故选：C.
7. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，
因为，所以，即为等边三角形，
又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，
以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，

设双曲线方程为，
所以，又，所以，
则点，
所以，解得（负值舍去），
所以双曲线的离心率.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的第80百分位数是249
B. 乙组数据的中位数是251
C. 从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D. 乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高
【答案】BCD
【解析】由题意得甲组数据共有10个数字，而，
则甲组数据的第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，
即甲组数据的第80百分位数是，故选项A错误；
乙组数据共有12个数字，故乙组数据的中位数是第6个数和第7个数的平均数，
即乙组数据的中位数是，故选项B正确；
设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，∴；
设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，∴，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件，事件相互独立，
所以由独立事件的概率乘法公式可知：“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为
，故选项C正确；
甲组的跳远平均成绩为，
乙组的跳远平均成绩为，
则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故选项D正确.
故选：BCD.
10. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，点，分别为的中点，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥 的体积为
D. 四面体 的外接球的表面积为
【答案】BD
【解析】如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
对A，不是0，所以A不正确；
对B，设平面的法向量为，，
所以，令，则.
设平面的法向量为，，
所以，令，则.
所以，所以平面平面，故B正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：三棱锥的外接球球心为，由，
四面体 的外接球的表面积为，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 存在实数使得为偶函数
B. 的导函数满足
C. 函数存两个极小值点
D. 方程存在个不同的实根且
【答案】AC
【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，A正确；
由选项知，所以，B错误；
，，
由且，得，由，得，
由，得，所以有两个极小值点，C正确；
令，则，于是或，当时，
由得存在两个不同实根，，此时；
当时，由，知存在异于，的两个实根，且，
所以方程存在个不同的实根且，D错误．
故选：AC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】∵椭圆的一个焦点的坐标是,
∴，，∴，，，∴.
故答案为：.
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】由，
可得，
由，可得：，
即，
联立可得：，
所以，
故答案：
14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）
【答案】14
【解析】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种；
②不含数字0，则有种，
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为.
故答案为：14
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
解：（1）
，
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
（2），
，
数列的前项和为.
16. 已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
解：（1）由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接BD交AC于点H，连接HE
因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点.
又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得.
由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE.
（2）解：因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD.
又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz.
又底面ABCD为边长为2的正方形，，则，
，；
；
设平面PAC的一个法向量为，则，即，
令，得，
设直线AE与平面PAC所成角为θ，，
即直线AE与平面PAC所成角正弦值为.
18. 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
（1），如果按照A、B、C的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目 X分布列和数学期望；
（2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小.
解：（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件，
则，
②可取1，2，3，
，，，
所以其分布列为
数学期望.
（2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，，
其中，，是，，的一个排列，
结合（1）②知，
由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出，
若先派A，再派B，最后派C，则；
若先派B，再派A，最后派C，则，
而，
所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小.
19. 已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
（1）指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
（2）过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
解：（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ，
所以抛物线的标准方程为.
（2）过①设.
由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为.
由消去，化简得 .
，则，
所以 .
因为，
当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32.
②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 .
如图，过点作，垂足为.
设圆与直线的一个交点为，连接，则.
又，
所以
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.
因此存在直线满足题意单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
1
2
3
P