陕西省渭南市临渭区2024-2025学年高三下学期质量检测（三模）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 设，则“”是“”的（ ）
4. 已知非零向量在向量上的投影向量为，则（ ）
5. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）

6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
7. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是
8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ）

二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（ ）
10. 如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ）
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为__________.
13. 已知，则__________.
14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
16. 已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18. 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
(1)，如果按照A、B、C的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望；
(2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小.
19. 已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
陕西省渭南市临渭区2024-2025学年高三下学期质量检测（三模）数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、三角函数与解三角形、函数与导数、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．2
C．
D．1
A．0.62
B．0.56
C．
D．
A．300
B．450
C．600
D．750
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高
A．
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为
D．四面体 的外接球的表面积为
A．存在实数使得为偶函数
B．的导函数满足
C．函数存在两个极小值点
D．方程存在个不同的实根且
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
6
适中
9
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
已知复数的类型求参数
2
0.94
并集的概念及运算；分式不等式
3
0.85
充分条件的判定及性质；必要条件的判定及性质
4
0.65
数量积的运算律
5
0.85
余弦定理解三角形；诱导公式二、三、四
6
0.85
指数幂的化简、求值；指数函数模型的应用（2）
7
0.65
求csx型三角函数的单调性；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；求图象变化前（后）的解析式
8
0.4
圆锥中截面的有关计算；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.65
计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；独立事件的乘法公式；总体百分位数的估计
10
0.65
多面体与球体内切外接问题；空间位置关系的向量证明；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算
11
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值；函数奇偶性的定义与判断；根据函数零点的个数求参数范围
三、填空题
12
0.85
椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征
13
0.65
已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦
14
0.65
数字排列问题；元素（位置）有限制的排列问题；分类加法计数原理；排列组合综合
四、解答题
15
0.85
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公式
16
0.65
利用导数研究函数的零点；根据极值点求参数；根据函数零点的个数求参数范围
17
0.85
线面角的向量求法；证明线面平行
18
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；互斥事件的概率加法公式；求离散型随机变量的均值
19
0.4
利用抛物线定义求动点轨迹；抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线中的定值问题
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,3
3
等式与不等式
2
4
平面向量
4
5
三角函数与解三角形
5,7,13
6
函数与导数
6,11,16
7
空间向量与立体几何
8,10,17
8
平面解析几何
8,12,19
9
计数原理与概率统计
9,14,18
10
数列
15