江苏省盐城市七校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市七校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量X的分布规律为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为随机变量X的分布规律为，
所以，解得，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 30B. 120C. 360D. 720
【答案】C
【解析】由题意可得，解得，则.
故选：C.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. 6B. -6C. 4D. -4
【答案】D
【解析】的展开式的通项公式为：，
当时，则有，则的系数为：.故选：D
4. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立；
由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，
即必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
5. 已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则可得分布列如下表;
根据期望公式得：，
解得，
所以根据方差公式得：，
即标准差为，
故选：C.
6. 从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件为“相邻的2个格子颜色不同”,事件为“3个格子的颜色均不相同”,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用4种颜色涂图示中3个格子的试验的所有样本点有个，它们等可能，
相邻的2个格子颜色不同时，可先涂中间格子有4种方法，再涂两边的格子各有3种方法，由分步乘法计数原理得事件A所含样本点有个，
3个格子的颜色均不相同时，相当于4种颜色占三个不同位置有种方法，
即得事件B所含样本点有个，
于是得，，
所以.
故选：B
7. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点,且,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.故选：B.
8. 若，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 的展开式中偶数项的二项式系数之和为
D. 的展开式中二项式系数最大项为
【答案】D
【解析】对于A，令可得，故A正确；
对于B，展开式的通项为，
所以系数，
所以，
令，即可得，
所以，故B正确；
对于C，因为，的展开式中偶数项的二项式系数之和为，故C正确；
对于D，因为为偶数，的展开式中二项式系数最大项为第6项，
即，故D错误.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数学中将这种思想方法称为“算两次”．请用此法判断下列等式中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，二项式的展开式中的通项为，则展开式中的系数为，
而二项式的展开式中的通项为，
所以的展开式中得系数为，
因为，所以，故A正确；
对于B，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分步骤考虑：
第一步：从个元素中选一个安排在首位，则安排的个数为；
第二步：剩下个位置可从其余个元素中抽出个元素全排列，
则所有的排列个数为；
故从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故B正确；
对于C，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分类考虑：
第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为，
第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有个位置，
然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为，
综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故C不正确；
对于D，从个不同的人中选出个人组成一个团队，且选一个人做队长，可以有两种选法：
第一种，从个不同的人中选出个人组成一个团队有种选法，再从选中的个人中选一人当队长有种选法，则形成的团队方法数为；
第二种，先从从个不同人中选出一人做队长，有种选法，再从余下的选出个人组成团员有种选法，则形成的团队方法数为；
综上，，故D正确.
故选：ABD
10. 在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题知，则，
，，
又相互独立，则，易知，
则，
对于选项A，因为，
当时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，，所以，
故选项B正确，
对于选项C，因为，，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，，
所以，故选项D错误，
故选：BC.
11. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B. 四面体的外接球的表面积为
C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】对于A：如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，
故，
若向量，，共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得：，
所以向量，，共面，
所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对于B：由，可知其中点坐标，
因为三角形为直角三角形，所以其外接圆圆心坐标为，
由球的性质可知，球心一定在过且与坐标面垂直的直线上，
所以可设球心坐标为，
则由可得： ，
解得：，
所以球的半径为：，
所以四面体的外接球的表面积为正确；
对于C，设正方体内切球的球心为，则，，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以点到平面的距离，
又正方体内切球得半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故C正确.
对于D，直线与平面所成角的余弦值为，
，设平面的法向量为，
则，即，
令，可得：，
即，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以.故D错；
故选：ABC
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为______．
【答案】
【解析】直线的方向向量为，，
则，，
则向量在直线上的投影向量坐标为：．
故答案为：．
13. 为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了航模、无人机、Ai技术等5门课程．分别安排在周一到周五，每天一节，其中Ai技术课不排在周一，航模和无人机课两天相邻的课程的安排方案种数为______．
【答案】
【解析】当航模或无人机课排周一时，此时情况数；
当航模与无人机都不排课在周一时，此时情况数为；
所以符合题意的情况数为.
故答案为：.
14. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______．
【答案】；
【解析】由题意可知，，
.所以：，
根据全概率公式得：.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线AC与所成角的正切值．
解：（1），，
；
（2）因
，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则，
所以，故，
所以异面直线AC与所成角的正切值为.
16. 在的展开式中，______．
给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中的系数．
解：（1）若选①：
由的展开式通项为，
令，则，解得，即，
令，即，则.
若选②：
由的展开式通项为，
由，则，即，
分解因式可得，解得，即，
令，即，则.
若选③：
由题意可得，解得，
由的展开式通项为，
令，即，
则.
（2）由（1）可得的展开式通项为，
令，解得，令，解得
则，
所以展开式中的系数为.
17. 驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响．
（1）求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率；
（2）若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望．
解：（1）设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、，事件、、、，互为独立
设事件“丁某不需要补考就可获得驾驶证”，
则，
所以丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率为；
（2）的取值可能为2，3，4，则；
；
；
；
所以，随机变量的分布列为
所以．
18. 如图，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点N（不包含端点），使平面BMN与平面CBM夹角正切值为?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，
所以平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因为平面，所以平面平面.
（2）因为DE经过的重心，故，
由（1）知平面BCDE，
如图以为原点建立空间直角坐标系，因为，
故，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
设CM与平面所成角的大小为，
则，
故，即CM与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角正切值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，
即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角正切值为，
则平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得（舍去）或，即，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角正切值为，
此时的长度为.
19. 设函数．
（1）若且，求；
（2）当时，求展开式中系数最大的项；
（3）当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：．
解：（1）由题可得，
所以，则，故，
令可得各项系数之和为或；
（2）当时，，
其展开式的通项为，
设展开式的系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负，
又
，
所以展开式中系数最大的项为；
（3）由可得，
即，所以，
所以
，
而，
所以原不等式成立．0
1
2
2
3
4