重庆市松树桥中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段性测试 数学试卷（含解析）

这是一份重庆市松树桥中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段性测试 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A．4B．12C．15D．21
2．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
3．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
4．已知为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．6B．6或2C．2D．4或2
8．若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列求导正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的极小值点为
C．函数无极大值
D．函数在上的最大值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则
B．当时，的零点只有1个
C．若函数有两个不同的零点，，则
D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是
三、填空题
12．已知函数，则 .
13．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 .
14．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则 .
四、解答题
15．已知函数
（1）求在点处的切线方程；
（2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
16．求下列函数的最值：
（1）；
（2）.
17．1.已知函数.
（1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值；
（3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在区间内有最小值，求的取值范围；
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值；
（2）当时，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.
故选B
2．【答案】A
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以，
所以．
故选A.
3．【答案】C
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，
则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．
故选C.
4．【答案】B
【详解】如图所示，由导函数的图象得，
当时，，且是减函数，
所以函数在上单调递增，且增长的速度越来越小，故不符合.
当时，，故函数在上单调递减，
当时，，故函数在上单调递增，B均符合.
故选B.
5．【答案】D
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选D.
6．【答案】B
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选B.
【关键点拨】本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
7．【答案】A
【详解】因为函数，
所以，
因为在处有极大值，
所以，
即，解得或，
当时，，
令，解得或 ，
当时， ，即在单调递减，
当时，，即在单调递增，
所以时取得极小值，不合题意，舍去；
当时，，
令，解得或
当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以时取得极大值，符合题意.
所以的值为6，
故选A．
8．【答案】A
【详解】由可得，
记，则，
当或时，，当时，，故
在上单调递减，在上单调递增，
故在取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，
方程恰有三个不相等的实根，即曲线与直线恰有三个不相等的交点，
与直线图象如下，
由图知，当时，曲线与直线恰有三个不相等的实根；
故选A
9．【答案】AC
【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确；
对于选项B，，令，则，∴选项B错误；
对于选项C，∵，∴选项C正确；
对于选项D，∵，∴选项D错误．
故选AC
10．【答案】BCD
【详解】因为，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以A错误，B正确，C正确；
在上递减，在上递增，，，
所以函数在上的最大值为，D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，定义域为，由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，则，A错误；
对于B，定义域为，，
当时，，在上单调递增，
又，，
，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；
对于C，，，
；
要证，只需证，即证，
不妨令，则只需证，
令，则，
令，
则，
在上单调递增，，，
即恒成立，，C正确；
对于D，当时，由得：，
即，；
令，则，在上单调递增，
由得：，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即，D正确.
故选BCD
12．【答案】2
【详解】∵，
∴，
∴
∴.
13．【答案】
【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，
由，得，所以切点为，
则点到直线的距离就是的最小值，即.
14．【答案】
【详解】，
，
，是直线与函数相切的切点，
，，
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，
故曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，切线方程为，
因为切线经过原点，故，所以，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为.
16．【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）无最小值，
【详解】（1），
令，得或.
又，，，，
∴当时，取最大值.
当时，取最小值.
即的最大值为，最小值为.
（2）函数的定义域为.
，
当时，，
当变化时，，的变化情况如表所示.
在上单调递增，在上单调递减，
无最小值，且当时，.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）易知.
因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立，
故.
经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是.
（2）由（1），得.
因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为，
所以-1和1是方程的两个实根，所以.
（3）由（1），得.
因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又函数在上的值域为，所以.
故实数a的取值范围是.
18．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）由，可得，
当时，令，即，不等式无解，
令，，解得，
所以函数的单调递减为，
当时，令，即，所以，
解得，令，，解得，
所以函数的单调递减为，单调递增为；
综上所述：当时，函数的单调递减为，
当时，数的单调递减为，单调递增为；
（2）由（1）可知时，函数在单调递减，无最小值不符合题意，
当时，函数在单调递增，无最小值不符合题意，
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，所以，
当，函数在单调递减，无最小值不符合题意，
综上所述：若在区间内有最小值，的取值范围为.
19．【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，∴，
又，∴切线方程为，（）.
当时，；当时，，
由题意可得，解得或.
（2），，
当时，，
令，则，
设的零点为，则，即且，
∴在上递减，上递增，
∴，
∴时，恒成立，从而恒成立，
∴当时，.
（或根据证明）单调递增
单调递减