重庆市巴川中学校2024−2025学年高二下学期第一阶段测数学试题（含解析）

这是一份重庆市巴川中学校2024−2025学年高二下学期第一阶段测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．4C．D．5
3．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．30D．60
5．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
7．已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点
B．的单调减区间是
C．若有两个不同的交点，则
D．在定义域内既无最大值又无最小值
10．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列B．
C．D．，，…，中最大的是
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线：与相交于点，与的一条渐近线相交于点.记的离心率为，那么（ ）
A．若，则
B．若，则
C．落，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线上，点在此抛物线上，为抛物线的焦点，则 ．
13．若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ．
14．记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，，求的值.
16．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
(2)记，求数列的前n项和.
17．如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求二面角的余弦值.
18．已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为.
（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.
19．对于一个函数和一个点，令函数，若是的极值点，则称点是在的“边界点”．
(1)对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在的“边界点”；
(2)对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围；
(3)对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选D.
2．【答案】A
【详解】由，可得，
又由，则得，
即，解得.
故选A.
3．【答案】C
【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，
则，，所以，
所以，
所以该圆锥的体积为.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由题意可得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】将直线方程进行变形：
因为，所以可联立方程组，
解得..所以直线恒过定点.
已知圆：，则圆心，半径.
可得圆心与定点的距离为：
.
因为，所以点在圆内部.
当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短.
此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边.
根据勾股定理，弦长的一半为.
所以弦长的最小值为.
直线被圆截得的弦长的最小值为.
故选A.
6．【答案】B
【详解】

设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为，
所以的面积为，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2.
故选.
7．【答案】A
【详解】是偶函数，，则，即是奇函数，
由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可得，解得
故选A.
8．【答案】B
【详解】解：依题意只需在时．
又，
令，，则，，
所以在上单调递增，所以．
对分类讨论：
①当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，
即恒成立；
②当时，在上有实根，因为在上单调递增，
所以当时，，所以，不符合题意；
③当时，恒成立，所以在上单调递减，
则，不符合题意．
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
故选B．
9．【答案】ACD
【详解】对于A，函数定义域满足，解得，
由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时.
所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；
对B， 的单调减区间是，，故B不正确；
对D，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故D正确；
对C，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故C正确；
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A、C：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，
即选项C正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，
所以，
即选项D正确.
故选BCD.
11．【答案】AC
【分析】根据题意，直线与双曲线一条渐近线平行，由渐近线性质可得，对于A，求出点坐标，由向量数量积为0，可得齐次式，从而得解；对于B，在中，求出，再结合双曲线定义可求解；对于C，由为的中点，求出的坐标，代入双曲线方程可解；对于D，结合双曲线定义和余弦定理求出，再结合条件得解.
【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为：，
则直线与平行，由两渐近线斜率互为相反数，从而倾斜角互补，
从而又
则，

联立，可得
A选项：，
则有，所以正确.
B选项：由，则有，
又，所以，所以，В错误.
C选项：由，则，因为在上，
所以有，
所以正确.
选项：由，
解得，，
由，即，
解得，所以，D错误.
故选AC.
【方法总结】根据题意，发现直线与双曲线一条渐近线平行，由渐近线性质可得，从而求解各选项.
12．【答案】5
【详解】点在此抛物线上，解得，所以．
13．【答案】或
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
∴切线方程为：,
∵切线过原点，
∴,整理得：,
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴,解得或,
∴或.
14．【答案】
【详解】解：已知，
当时，，
解得或,
因为是正项数列，舍去，
所以，
当时，，
整理可得，
因为是正项数列，
所以，
则是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
令，
则.
对求导，
得，
令，
即，解得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又因为随增加而增大，
，；，；，；
所以当时，取得最小值，最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理及面积公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以，又，
所以.
（2）由正弦定理知，，
所以，
所以，
解得，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：
所以，又因为，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，所以，
所以，
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为是圆柱的一条母线，故平面，
因为平面，所以，
因为是圆的直径，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，
所以.
（2）因为底面，
以点为原点，分别为轴､轴､轴正方向，
建立如下图所示空间直角坐标系，
连接,因为，所以.
因为，所以，
所以是等边三角形，所以，
是圆的直径，则，，
则，
因为是的中点，则，
底面平面，故,又，
平面，
所以底面，所以平面的一个法向量可取为，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为
18．【答案】(1)
(2)（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.
【详解】（1）由题意知：双曲线的焦点为，，
设椭圆的方程为，半焦距为，则，
又，所以，
所以
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）若直线斜率不存在，设，，
则，
而，故不成立.
所以直线的斜率存在，
设所在直线方程为，
联立，消去得：，①
设，，
，，
，，
.
整理得.
所以直线恒过点（0,0）.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
因为，所以.
当时，设所在直线方程为，
则，，
当时，亦符合上式，
所以

.
令，，
，
因为，所以，
所以当，即时，取最大值4，
所以当，即时，面积最小，最小值为.
19．【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【详解】（1），
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则2是的极小值点，
故存在点，使得点是在的“边界点”；
（2），
因为不存在点，使得点是在的“边界点”，所以没有极值点，
若，则没有极值点，
若，则当时，，
当时，，
所以在上单调递堿，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，
综上，；
（3），
因为存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，所以有2个极值点，
令函数，
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以最多只有1个零点，即最多只有1个零点，则最多只有1个极值点，不符合题意，
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
要使得有2个极值点，则有2个零点，
当时，不符合题意，
当时，由，解得，
此时，，
，令函数，
所以在上单调递减，，即，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有2个极值点，符合题意，
综上，的取值范围为.