山东省潍坊青州第一中学2024−2025学年高二下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省潍坊青州第一中学2024−2025学年高二下学期第二次月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知在等差数列中，,，则=（ ）
A．8B．10C．14D．16
2．已知函数，则（ ）
A．1B．0C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．甲班的平均分比乙班的平均分高
B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散
C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的
D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A．B．C．D．
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ）
A．万元B．万元
C．万元D．万元
7．等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3B．4C．7D．9
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心点
C．相关系数越大，与相关的程度就越强
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
10．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在处的切线方程为
D．
11．若无穷数列，存在正整数，对任意，均有，则称数列是弱增数列，下列说法正确的是（ ）
A．公差大于的等差数列一定是“弱增数列”
B．公比大于的等比数列不一定是“弱增数列”
C．若，则数列不是“弱增数列”
D．若，则数列是“弱增数列”
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前项和为，，则 .
13．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
14．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为等差数列，是等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的值.
16．已知函数在处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当时，求函数的最小值．
17．“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
18．数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的通项公式；
(3)令，求数列的前n项和.
19．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的恒成立，求的值；
(3)证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】设公差为，
则，解得，
所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以．
故选B．
3．【答案】B
【详解】，
令可得解得，
所以，所以，
故选:B.
4．【答案】D
【分析】根据两个班数学成绩的正态曲线图，易于判断A,B两项；对于C和D，需要根据图中两个班数学成绩的期望和最大值分别求出和，再结合曲线图的对称性和三段区间的概率值计算对应的概率值，比较后研判即得.
【详解】对于A，由图知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误；
对于B，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误；
对于C，甲班的最大值为，则，则,故C错误；
对于D，乙班的最大值为，则，则，
又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确.
故选D.
5．【答案】B
【详解】由题意
事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件
由条件概率的定义：
故选B
6．【答案】B
【详解】设每年偿还x万元，
则，
所以，
解得．
故选B
7．【答案】A
【详解】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，
由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得
故选A
8．【答案】B
【详解】设，则，
令，即，解得，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
则时，有极大值，即最大值，
又，，，
所以，
且，
所以，
综上可得，，即.
故选B
9．【答案】BD
【详解】，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；
线性回归直线一定经过样本中心点，故B正确；
相关系数越大，与相关的程度就越强，故C错误；
利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系，故D正确；
故选BD
10．【答案】ABC
【详解】由可得，
对于A，，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，切线的斜率为，由点斜式方程可得，
化简可得，故C正确；
对于D，，则，故D错误；
故选ABC
11．【答案】ABD
【详解】对于A，设等差数列的公差为，
所以，
因为正整数，，
所以，即，故A正确；
对于B，设等比数列的公比为，
所以，
因为正整数，，
所以，当时，，即，故B正确；
对于C，因为，
所以，
因为，，所以单调递增，
所以，当时，恒成立，故C错误；
对于D，因为,
所以，
因为，，
所以当时，，此时，即，
故数列是“弱增数列”，D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】设等差数列的公差为，且，则，
所以，
由可得，解得，
则.
13．【答案】
【详解】设：事件：这个学生来自甲学校；事件：这个学生来自乙学校；事件：这个学生来自丙学校；
事件：甲学校学生选了物理；事件：乙学校学生选了物理；事件：丙学校学生选了物理；
由题意知：这个学生选择是物理的概率：.
14．【答案】
【详解】令即又函数有两个极值点，故方程有两个零点，即有两个零点，令则则当时，单调递减，当时，单调递增，故时，取极小值，也为最小值，
又时，
则有两个零点时，a的取值范围是
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为.
因为，所以，即，
所以，
所以，则，
所以.
（2）
.
16．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【详解】（1），
因为在处取极小值5，所以，得，
此时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，．
又，所以．
（2），所以
列表如下：
由于，故时，．
17．【答案】（1）.
（2）.
（3）.
【详解】（1）一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率：.
（2）由题意得，X的可能取值为100，80，60，0.
，，
，.
所以X的分布列为：
则X的数学期望为：.
（3）由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数，则，
故所求概率为.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，所以当时，，
当时，
又也满足上式，所以.
又.
（2）∵，①
∴，②
②－①得：，，故．
（3），
∴，
令，①
则②
①－②得： ，
∴，
∴．
∴数列的前项和.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性；
（2）变形为在上恒成立，构造，求导，分，，和四种情况，得到；
（3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立，从而得到，利用累加法得到，得到.
【详解】（1）的定义域为，
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
当时，令，得的单调递增区间为；
令，得的单调递减区间为.
（2）等价于，
令，则不等式等价于，
，
当，则在上单调递减，，
时不合题意；
当，令得，令得，
故的递增区间为，递减区间为，
若，
，则当时，，不合题意；
若，，适合题意；
若，
，则当时，，不合题意；
综上，.
（3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立.
时，，
，
，
，
，
，即，
.
【方法总结】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
0
0,1
1
2
2,3
3
f'x
0
0
1
↗
极大值6
↘
极小值5
↗
10
X
100
80
60
0
P