专题4-1 向量性质与基本定理应用（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

这是一份专题4-1 向量性质与基本定理应用（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题4-1向量性质与基本定理应用原卷版docx、专题4-1向量性质与基本定理应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 题型01向量夹角：模型夹角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 题型02向量夹角：坐标型 PAGEREF _Tc21286 \h 2
\l "_Tc17232" 题型03向量夹角：复合型 PAGEREF _Tc17232 \h 3
\l "_Tc11827" 题型04向量夹角：恒成立与最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 3
\l "_Tc26640" 题型05投影与投影向量：投影数量 PAGEREF _Tc26640 \h 4
\l "_Tc1241" 题型06投影与投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 5
\l "_Tc24977" 题型07线性运算：鸡爪基础型 PAGEREF _Tc24977 \h 6
\l "_Tc15262" 题型08线性运算：四边形 PAGEREF _Tc15262 \h 7
\l "_Tc137" 题型09基底：换基底型 PAGEREF _Tc137 \h 8
\l "_Tc3460" 题型10基底：两线交点型 PAGEREF _Tc3460 \h 8
\l "_Tc5256" 题型11基底：面积比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 10
\l "_Tc29200" 题型12基底：赵爽弦图型 PAGEREF _Tc29200 \h 10
\l "_Tc19568" 题型13数量积最值范围 PAGEREF _Tc19568 \h 11
\l "_Tc17496" 题型14范围最值型：建系法 PAGEREF _Tc17496 \h 12
\l "_Tc26546" 高考练场 PAGEREF _Tc26546 \h 13

题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．

题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A．B．
C．D．1
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．

【典例1-2】如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，

【变式1-1】在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定

【变式1-2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）

A．B．C．D．
【变式1-2】．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）

A．B．
C．D．
题型09基底：换基底型
【解题攻略】
【典例1-1】设向量是平面内一个基底,且,则向量可以用另一个基底表示,即________.
【典例1-2】已知若以与为一组基底,则用与表示________.

【变式1-1】若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________

【变式1-2】设是平面内一组基底，且，，则向量可以表示为另一组基底的线性组合，即=____.
【变式1-3】已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______
题型10 基底：两线交点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·高一课时练习）如图，在中，AD是BC边上的中线，是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为 .
【变式1-3】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
题型11基底：面积比值型
【典例1-1】（2023春·全国·高三专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
【变式1-1】（2023春·全国·高三专题练习）四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023春·高三单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
题型12基底：赵爽弦图型
【典例1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.

【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________．
【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8

【变式1-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型13 数量积最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3

【典例1-2】（2023·河北沧州·校考三模）在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下关第一中学校考开学考试）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
题型14 范围最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
【典例1-2】（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．
【变式1-1】（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

高考练场
1.（2023·全国·高三专题练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知，那么的夹角（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4.．已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

5.（2022上·北京·高三阶段练习）已知，则向量在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7.在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．

8.（2022春·陕西安康·高三校考）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
9.若是一个基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知，，，，向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
10.．如图，在中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．

11.（2021秋·湖南·高三周南中学校联考开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于 ．
12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2

13.（2022春·高三单元测试）若平面向量满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（2023春·浙江台州·高三温岭中学校考）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通过模计算，转化为函数恒成立。
通过向量几何意义，转化为图形恒成立
若、，则
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值