专题3-4 解三角形大题综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16715" 题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问） PAGEREF _Tc16715 \h 1
\l "_Tc17400" 题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问） PAGEREF _Tc17400 \h 5
\l "_Tc27032" 题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问） PAGEREF _Tc27032 \h 8
\l "_Tc8690" 题型04 正余弦定理基础：正切型求角 (第一问） PAGEREF _Tc8690 \h 12
\l "_Tc9889" 题型05 解三角形最值：角与对边型求面积 PAGEREF _Tc9889 \h 16
\l "_Tc21261" 题型06 解三角形最值：角非对边型求面积 PAGEREF _Tc21261 \h 18
\l "_Tc4944" 题型07 解三角形最值：周长型最值 PAGEREF _Tc4944 \h 22
\l "_Tc25378" 题型08 解三角形最值：长度型最值 PAGEREF _Tc25378 \h 25
\l "_Tc24135" 题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型 PAGEREF _Tc24135 \h 27
\l "_Tc6073" 题型10解三角形最值：四边形面积最值型 PAGEREF _Tc6073 \h 30
\l "_Tc27317" 题型11三大线：中线（重心）型 PAGEREF _Tc27317 \h 32
\l "_Tc13307" 题型12 三大线：角平分线（内心）型 PAGEREF _Tc13307 \h 36
\l "_Tc4333" 题型13 三大线；高 PAGEREF _Tc4333 \h 39
\l "_Tc4473" 题型14 辅助线型：双三角型 PAGEREF _Tc4473 \h 42
\l "_Tc17568" 高考练场 PAGEREF _Tc17568 \h 45

题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·天津西青·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求.
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a.
（3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
则，
而，则，又，所以.
（2）由，得，由（1）及余弦定理，
得，解得，所以.
（3）由及正弦定理，得，则，
显然，即，则A为锐角，，
于是，，
所以.
【典例1-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用二倍角公式即可得到的值，即可求得答案；
（2）根据得出，设，表示出相关各角，在利用正弦定理即可求得，即可证明结论.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，，，
所以，所以；
（2）证明：因为，所以，
设，在中，，则．
可得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
则，
化简得，因为，即，则．
所以是直角三角形．
【变式1-1】（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，，
从而可得，，又为三角形的内角，
所以，于是，又为三角形的内角，因此.
（2）
，
由可知，，，从而，
因此，
故的取值范围为.
【变式1-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小.
（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
则，而，于是，
即，又，即有，则，所以.
（2）依题意，，则，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
【变式1-3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为，即，
可得
又因为，则，可得，
且，可得.
（2）法一：由正弦定理可得，则，
可得
，
因为，则，可得，
所以周长的最大值为
法二：由余弦定理可得，
可得，当且仅当时，等号成立，
解得，所以周长的最大值为.
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
【典例1-2】（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别是．已知
(1)求角；
(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．
①为的角平分线；②为的中线．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得，即可得答案；
（2）选①，由，根据三角形面积公式求得，由余弦定理得.
选②，得，平方后利用向量的运算可得，由余弦定理得.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
所以，
又，所以，
，
又，
，
化简得，即，
又，所以．
（2）选①，为的角平分线，
由得：，
即，所以，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以.
选②，为的中线，
则，平方得，
所以，所以，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以.
【变式1-1】．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，点D为AB 的中点，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解；
（2）根据（1）中关系可得，进而可知，利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由（1）可得：，则，即，
可知，即，可得，，
所以.
【变式1-2】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）在中，，且
(1)求角；
(2)若点为边上一点，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解进而得到答案；
（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到，结合余弦定理得到，两式联立得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，又因为，所以.
（2）如图所示，
因为，
所以因为，所以，
所以，所以，
即，即，又因为，所以，
在中，由余弦定理得，，即，
代入，解得（负值舍去），所以，
所以.
【变式1-3】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由条件利用正弦定理，余弦定理化简可得，进而求出；
（2）由题意可得，利用向量运算可得，根据基本不等式可求得的最大值，进而得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又由余弦定理可得，，
，又，
（2）设边上的中线为，由向量关系可得，
，
，又，，
，
，(当且仅当时取等号)
所以面积的最大值为
题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问）
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，．
(1)求证：．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）方法一，由正弦定理得到，，结合化简得到，证明出结论；
方法二：，由正弦定理得到，，，结合余弦定理得到，因为，所以，证明出结论；
（2）根据和（1）中结论得到，，由正弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）方法一：，
由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
又，所以，
所以，
所以．
因为，所以．又，所以．又，所以．
方法二：由，由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
因为，所以，
即，所以根据正弦定理，得．
又，所以结合余弦定理，得，
所以，则，
即，由，可得，
所以．又，所以．又，所以．
（2）由（1）知，
又，，所以，．
由正弦定理，知，所以，，
故的面积．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得的余弦值，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
则.
又，所以，
故，即.
（2）由（1）可知，.
因为，所以，
则，
故的面积.
【变式1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.
【详解】（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,.
（2）为锐角三角形,解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，则，
所以
因为,
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由是锐角三角形，可求出，进而求出，由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，令，，由的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以..
令，，，因为在上单调递增，
所以，，所以.
【变式1-3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可推得.进而根据正弦定理边化角以及三角恒等变换，化简可得.结合锐角三角形，即可得出证明；
（2）先根据已知得出.根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦定理化简得出，进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，.又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.因为为锐角三角形，
所以，，，所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，所以，，解得.
根据正弦定理可得，，.
因为
，
所以，，
，所以，.
因为，所以，，
，所以，，
所以，.所以，的周长的取值范围为.
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 (第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考）中，内角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)若是边上的一点，且，，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦，化简得到，进而得到，即可求得的大小；
（2）根据题意，在中，利用正弦定理得，进而化简得到，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
又由正弦定理得，
整理得，
可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：在中，由正弦定理得，
因为，且，可得，
又因为，所以，
整理得，所以.
【典例1-2】（2024上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，．
(1)求的大小；
(2)若，求边长的最值．
【答案】(1)(2)最大值:；最小值：
【分析】（1）结合题意对分别对，进行化简，从而求解.
（2）根据正弦定理并结合（1）中的结果，求解得出最值.
【详解】（1）延长交外接圆于点，如下图所示
则所以：，
由，
得：，
解之得：，因为：，所以：.
故答案为：
（2）在中，由正弦定理得，
所以：，
因为：，所以：，所以：，
所以：边长的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值：；最小值：.
【变式1-1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为.
(1)求的大小；
(2)若.
①求的值；
②求的值：
【答案】(1)(2)①12；②
【分析】（1）根据正弦定理和化简计算可得，即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理计算即可求出c；由正弦定理求出，根据同角的三角函数关系求出，利用二倍角的正弦、余弦公式求出，结合两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，
原式可化为：，
整理得：，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，即，解得.
由正弦定理，解得，
因为，所以A为锐角，，
所以，
.
【变式1-2】（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角：
(2)已知是边的中点，且，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）对已知条件用正弦定理，并化为正余弦即可；
（2）由面积关系和余弦定理可解得各边长，再向量化即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以可知，
又因为，所以．
（2）因为是边的中点，所以，
故，故．
由余弦定理得，故，
因为，所以．又因为，
平方得，
所以，故的长为．
【变式1-3】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，化简已知算式，求出；
（2）已知出和，利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式解得，由正弦定理有，设，，由余弦定理得，在中，由余弦定理解出，得到，面积公式求的面积.
【详解】（1），
由，，，，
所以，即，
由于，所以.
（2）在中，由，得，由，得，.
则，
由正弦定理得，，
设，，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则，
所以的面积.
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,,，.
（2）由题意可知,设,
,又，在中,由正弦定理可得:.
即:，
，,
，
所以三角形面积的取值范围为.
【典例1-2】已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求外接圆的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；
（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）由题知：，
由正弦定理可化为，即，由余弦定理知，又，故.
设外接圆的半径为R，则，所以，
所以外接圆的面积为.
（2）由（1）知：，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，
又由正弦定理，得，
所以.
又，则，所以，
故面积的取值范围是.
【变式1-1】记的内角所对的边分别为，已知.
(1)求证：
(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.
【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）证明：由，得，
代入，得，所以，
由余弦定理，得，
所以，
所以.
（2）由(1)知，所以的面积，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
下面证明当，即时，为直角三角形.
把代入，得，
两边平方，得，所以，
因为，所以，即，所以为直角三角形.
【变式1-2】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)若，求B的大小；
(2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；
（2）先判断出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面积取值范围.
【详解】（1）因为，所以，即.
因为A，B，C为△ABC的内角，所以或.
因为，所以（不合题意，舍去）.
所以，而，所以.
（2）由（1）可知：或.
当时，有，这与△ABC不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；
当时，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.
而.
因为，所以（当且仅当时等号成立）.
又，所以，所以，即△ABC的面积取值范围为.
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得角的值；
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，
、均为锐角，则，故，因此，.
（2）解：由（1）可知，，故，又因为，
所以，
又因为，，所以，故，
即有，则，
又由.
所以面积的取值范围是.
【典例1-2】在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解；
（2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得
即
又
所以
即
又，，
即，即
又，，即
（2）由题意得：，
由正弦定理得：，
又 为锐角三角形，∴，
故，∴，∴，
从而.
【变式1-1】在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】(1)B(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合三角恒等变换得，进而得答案；
（2）结合题意得，再根据正弦定理得，进而根据面积公式与三角恒等变换得，再求范围即可.
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，∴，即
（2）解：为锐角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，∴，∴．
∴的面积的取值范围为．
【变式1-2】已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为，
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角;(2)根据正弦定理以及三角形面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
，且
且
故所以，.
（2）由正弦定理可得，，且则，由(1)知，则，且是锐角三角形，即，，所以，即，
.
题型07 解三角形最值：周长型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案.
（2）利用正弦定理推出，设，确定t的范围，再利用余弦定理推得，谈论和时两种情况，即可求得答案.
【详解】（1）由得，
故，
因为，故，
则，
而，
故，则；
（2）由于，则，
在中，；
在中，；
而，故，设，
则，即，
在中，，
即，于是，故，
分别在利用余弦定理得，
两式相减得，
当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为；
当时，，于是，
故，
由于，故当时，取最小值，
故周长的最小值为.
【典例1-2】．（2023秋·广东云浮·高三校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
则，所以，
即，因为，所以，
又易知，所以，因为，所以．因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，即，即，
所以，当且仅当时等号成立，又，所以，
所以，故周长的取值范围是．
【变式1-1】（2022秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得，结合基本不等式与完全平方公式可得，再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等变换公式推出，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
【详解】（1）因为，
所以，
又，，所以，
根据正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因为，，所以由余弦定理可得，即．
因为，所以，
所以，当且仅当时，取到最值
又，所以，即周长l的取值范围为．
解法二：由正弦定理知，，所以，，
所以
，
因为，所以，所以,，
所以,，所以,，故的周长的取值范围为,．
【变式1-2】（2023春·湖南益阳·高三安化县第二中学校考阶段练习）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且三角形的外接圆面积为，三角形的面积为．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求出，即可得解；
（2）先求出外接圆半径，然后利用正弦定理求出，的关系式，然后利用辅助角公式化简，由三角形为锐角三角形求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）因为三角形的外接圆面积为，设外接圆半径为，则，所以（负值舍去），
由正弦定理可得，所以，，
则
，又三角形为锐角三角形，则，且，
解得，所以，
则，所以．
.
题型08 解三角形最值：长度型最值
【典例1-1】．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)的面积，求b的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果；
（2）根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值.
【详解】（1）因为，在中由正弦定理可得，
代入可得：，
又，所以或，
又因为，所以，故；
（2）因为，所以，所以，因为，
所以，所以
，因为，所以，
所以，所以当，
即时，，.
【典例1-2】（2023春·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可求解；
（2）根据正弦定理，转化为，再根据三角恒等变换，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）根据正弦定理，边化角，得
，
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形，所以；
（2）由（1）知，，,
所以,
,
,
因为是锐角三角形，所以，
则,则,
的范围为，所以的取值范围为.
【变式1-1】（2023秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】（1）由已知，，
由正弦定理，
所以，即，
又，所以，解得.
（2）由题，得，
又（时取“=”）
所以，
即的最小值是，时取等号.
【变式1-2】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题：
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.
（2）利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，
，
整理得，而，，于是，
所以.
（2）在中，，，由正弦定理，得，同理，
因此
由锐角，得，解得，则，，
于是在上单调递增，则
所以的取值范围为.
.
题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔中学校考）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由商数关系结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再利用三角函数即可得解.
【详解】（1）由，
得，
即，
又，则，所以，又，所以；
（2）由正弦定理得，
所以，所以，
由为锐角三角形，得，所以，
所以，所以.
【典例1-2】．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.
【答案】(1)或或(2)
【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式解决；
（2）利用正弦定理转化为三角函数的最值问题.
【详解】（1）由得，
，或，所以或或 ；
（2）由为锐角三角形，，根据正弦定理,
所以,
其中为锐角，.
所以当即时，有最大值1.
所以的最大值为.
【变式1-1】（2023春·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）在中，由正弦定理，且，
则，，
由，则，，
由，则，，
，，
，由锐角中，，则.
（2）由（1）可知，则，
在中，由正弦定理可得：，由，则，
解得，，，
由，且，则，
，
由锐角，，，则，解得，
由余弦函数的单调性，可得，解得.
【变式1-2】（2023春·江苏徐州·高三统考）已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，又因为，所以，，
所以，，
即，所以，，
又因为，则，所以，，
又因为，则，所以，，故.
（2）解：由正弦定理知，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，则，所以，，
因此，的取值范围是．
题型10解三角形最值：四边形面积最值型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得；
（2）在中，由余弦定理得到，从而得到，再由从而得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
(1)解：在中，由，有，则，
即，∵，所以．
(2)解：在中，，∴，
又，则为等腰直角三角形，，
又，
∴，
当时，四边形的面积最大值，最大值为．
【典例1-2】（2022·湖北·模拟预测）在中，若.
(1)求的值；
(2)如图，若，为外一点，且，，，求的最大值及相应的.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；
（2）利用余弦定理及面积公式可得，然后利用三角函数的性质即得.
(1)∵，由条件知，
∴，，∴.
(2)若，所以为等边三角形，在中，，，，
∴，故，∴，
，∴
，当且仅当，即取等号，
所以时，的最大值为.
【变式1-1】（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形中，.
(1)证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)14
【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；
（2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解.
(1)证明：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
∴，所以，即.
(2)，，
则由（1）知：，
代入上式得，
，，
∴当时，取到最大值14.
【变式1-2】（2022·福建·上杭一中模拟预测）如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)12
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由与，结合与基本不等式求解即可
（1）∵，由与余弦定理∴，整理得，，∴．∴为直角三角形．
（2）∵，∴．由，得．．（当且仅当时取等号）所以四边形面积S的最大值为12．
.
题型11三大线：中线（重心）型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且.
（1）若，求；
（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；
（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．
【详解】（1）由余弦定理可得.
（2）由题意可得，，
又，，
∴，即，∴，
∴，由，
∴.
【典例1-2】（2018秋·宁夏银川·高三六盘山高级中学校考）在三角形中，为的中点，
（1）求的值；
（2）若,求三角形的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据和差公式，计算得到答案.
（2）设，，，根据勾股定理得到，计算面积得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
故.
（2），设，，，.
在中，根据勾股定理：，解得，故.
【变式1-1】（2023秋·浙江温州·高三乐清市知临中学校考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B大小；
(2)若，，为的重心，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，再利用辅助角公式化简可得，解三角方程可得；
（2）由为的重心，得到点到线段的距离与点到线段的距离的比值，再将其转化为面积比，则面积可求.
【详解】（1）
由正弦定理可得，
，
，
，
又三角形中,可得，
，又
，可得,
又即，可得，则.
（2）连接并延长使其交与点，如图，

因为为的重心，所以,
则点到线段的距离是点到线段的距离的，
则.
【变式1-2】（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：
(2)若P为重心，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；
（2）由题意为中线，可得，再由、、，求，进而求对应正弦值，结合及三角形面积公式求面积.
【详解】（1）中，则，
中，则，
又则，
所以，得证.
（2）由是重心，则为中线，又，
所以，
而，则，
所以，可得，且，所以，
同理，，可得，，
所以，，
则.
题型12 三大线：角平分线（内心）型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，可得，，则，中，由余弦定理求AD；
（2）， BD为的角平分线，则有，由，得，利用基本不等式求出的最小值，代入面积公式求面积的最小值．
【详解】（1），由正弦定理得，
由，，
则，即，
解得，由，即得，如图所示.

由，则，
中，由余弦定理，
，解得.
（2）， BD为的角平分线，且，如图所示，

则有，，
则，
即，且，
则，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
故面积的最小值为．
【典例1-2】（2023秋·广西钦州·高三校考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几德得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）过点作交延长线于点，利用三角形相似即可得证；
（2）利用三角形重心得到，再利用平行线分线段成比例与三角形内心的性质，结合角平分线定理证得与，从而得证.
【详解】（1）过点作交延长线于点.

因为，所以，
因为,所以,则，
又，所以，
所以，则,即.
（2）不妨设的延长线交于，连接，

因为为的重心，所以，
因为，所以，
因为为的内心，所以是的角平分线，即是的角平分线，
所以在中，利用角平分线定理得，即，
同理在中，，
所以.
【变式1-1】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．
(1)若的面积，求a；
(2)若D为的角平分线与边BC的交点，，求a.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意可得的高，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）由题意设，再根据三角形性质可解得，最后根据正弦定理求解a即可.
【详解】（1）的高，
所以，则．
（2）因为AD是的角平分线，所以，
设，则．
在中，因为，所以，
由内角和定理，，所以．
在中，由正弦定理得，则．
【变式1-2】（2023秋·浙江·高三校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，，的角平分线交BC于D，求AD的长．
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）先利用余弦定理可得，再结合面积关系运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，
且，
即，
又因为，则，可知，可得，
又因为，所以.
（2）由余弦定理可得，即，
则，且，解得：，
根据面积关系可得，
即，
解得：．
题型13 三大线；高
【解题攻略】
【典例1-1】在三角形中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由正弦定理可转化原式为，结合余弦定理可得解；
（2）由于又，可得解a,利用余弦定理可解的值.
【详解】（1）设三角形的外接圆的直径长为
由正弦定理和已知
得:所以，即
由余弦定理得，因为，所以
（2）因为，所以因为，所以
由余弦定理得，
【典例1-2】已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；
（2）利用面积公式可得，再利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
根据正弦定理可得，所以，
又根据余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因为，即，
由正弦定理可得，所以.
【变式1-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求B的值；
(2)若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据余弦的额倍角公式和诱导公式即可求解；（2）根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）由，
由内角和定理得：，
由内角和定理得：，
进而得：，B为三角形内角，
解得：，（舍去），
从而得.
（2）由题设知，不妨设，，
由余弦定理得：，
联立得：， 即，，，
故，从而的面积.
【变式1-2】的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求边上的高.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得，结合三角形内角的性质求，再应用二倍角公式有，进而确定大小；
（2）应用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求边上的高.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，则.
因为，即，又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得或（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为，则.
题型14 辅助线型：双三角型
【典例1-1】（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．
①；②．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，，，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解．
（1）解：因为，
所以，
故；
（2）选①，．因为，所以，
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得，所以，因为角为锐角，故，
在中，因为，所以，
又，所以；
选②，，设，则，
在中，，
由（1）得，，
解得，即，
在中，，
所以，
所以，
所以．
【典例1-2】（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合正弦定理边化角可求得，进而结合同角基本关系的平方关系即可求出结果.
（2）求出，进而在中结合正弦定理即可求出结果.
(1)
在中，由正弦定理得，
又在中，，
所以上式可化为．
因为，所以，
又因为是锐角三角形，．解得．
(2)
由（1）得：，又是锐角三角形，所以，
所以．
在中，
由正弦定理得：，即，
解得．
【变式1-1】.（2022·湖南师大附中三模）在中.，D为BC边上的一点，，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求的面积及BD的长.
①；②；③.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】，.
【分析】根据所选条件，结合余弦定理求、，即可得BD的长，结合二倍角余弦公式或直角三角形求，最后利用三角形面积公式求面积.
【详解】选①②：因为，，
所以，，.
所以，且.
在中，，
所以，
所以的面积为.
选择①③：因为，，，
所以，
所以，即，
所以，则的面积为.
选择②③：因为，，
所以，
因为，，则，
所以，故，
所以的面积为.
【变式1-2】在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.
(1)求的面积；
(2)当，求MN的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．
(1)在中，，则由正弦定理得：，，则
因为，则或（不合题意，舍去），
则。的面积为
(2)在中，，，
由余弦定理可得
则有，所以在直角中，，
，则
.
高考练场
1.（2023·河南·统考模拟预测）已知的三个角的对边分别为，且
(1)求 B；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，因为
由正弦定理可得：
所以
所以
整理得 又， 所以，
所以得 因为，所以；
（2）由（1）知， ，又，
在中， 由余弦定理，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面积.
2.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知满足.
(1)求证：；
(2)若为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用反证法，先假设角为直角；再根据题目条件证明假设不成立即可证明.
（2）先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简，得；再根据为锐角和余弦定理，得；最后两者结合得到关于和的不等式，即可求出结果.
【详解】（1）假设角为直角，则，所以.
因为，
所以，
所以，所以，
显然，所以矛盾，故假设不成立，
所以角不可能为直角.
（2）因为，
所以.
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
化简得：.因为为锐角，所以，则，即.
所以.因为
所以，即.
令，则有，解得：，
所以的取值范围为.
3.（2021下·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若O是△ABC内一点，∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角，化简可得.根据两角和的正弦化简得出，结合的范围，即可得出答案；
（2）由已知推得∠OAC＝∠ABO，.然后在△ABO中以及△ACO中，根据正弦定理得出，进而即可得出答案.
【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，
.
又，
所以有.
又，所以.因为，所以，.
（2）
由（1）结合图象可知，∠OAC+∠OAB＝60°，∠OAB+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝60°，
所以∠OAC＝∠ABO，
所以.
在△ABO中，有，所以，.
在△ACO中，有，所以，.
所以有，.展开整理可得，，
所以，.
4.（2023·全国·模拟预测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
(1)求角．
(2)若的周长为15，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合题干，先边角互化，再利用余弦定理，可求出的值，进而求得角的大小；
（2）根据的周长，以及，结合第一问可求得的值，再利用面积公式，进而求得其面积.
【详解】（1）由题意可得，
所以．
由正弦定理，得，
则，所以．
又，所以．
（2）因为的周长为15，所以则．
因为，所以，
即，解得或．
因为，，所以，
所以，，，所以．
5.在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．
江苏省南京市第二十七高级中学2022-2023学年高三上学期测试数学试题
【答案】(1)(2)最大值为，为正三角形
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变换即可求解；
（2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解.
（1）
解：∵，由正弦定理可得，
∵，
∴，
∵，∴，从而，即，
∵，∴．
（2）
解：∵，，由余弦定理得：，
即，由于（当且仅当时取等号）
所以，
即（当且仅当时取等号）
∴（当且仅当时取等号）
∴当时，的面积最大，且最大值为，
由于，所以此时为正三角形．
6.（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
（2）利用正弦定理将周长表示为角C的函数，由（1）及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
整理得：，由余弦定理得：，而，解得，
所以.
(2)
由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，
由正弦定理得：，
则，
当时，，，而，
即，因此，，则，
所以周长的取值范围是.
6.（2024上·湖北恩施·高三利川市第一中学校联考）在锐角中，角所对应的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解.
【详解】（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以．
因为在锐角中，，所以，
解得，
则，故．
7.（2023春·江苏镇江·高三校联考阶段练习）锐角中，内角、、对边长分别为、、，满足
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可得出周长的取值范围.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得
，则，
因为、，则，，因此，.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，则，所以，.
因此，周长的取值范围为.
8.（2022春·浙江嘉兴·高三校联考）在以下条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
①②③
在中，内角，，的对边分别为，，，已知___________.
(1)求角的大小；
(2)若，求边的最小值.
【答案】(1)(2)最小值为4
【分析】（1）选①，由余弦定理求出得解；选②，根据正弦定理化简可得，即可求解；选③，由面积公式及余弦定理化简求得解；
（2）由余弦定理及均值不等式求最值.
【详解】（1）若选①，由已知条件结合余弦定理推论得：，
又，所以.
若选②，由已知条件结合正弦定理得：，得，
又，所以.
若选③，由已知条件结合面积公式､余弦定理推论得：，
得，又，所以.
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当时等号成立，即，所以边的最小值为4.
9.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，已知，且.
(1)若的面积为，求的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根据垂直向量数量积为0求解可得，再根据三角形面积公式与余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据三角函数取值范围求解即可.
【详解】（1）由可得，故，显然，故.
又，故.
由三角形面积公式可得，故.
由余弦定理可得，即，故.
（2）由（1），故，故，.
故
.
因为，故，故，.
故的取值范围为.
10.如图所示，BD为四边形ABCD的对角线，设AB＝AD＝1，△BCD为等边三角形．记．
(1)当时，求的值；
(2)设S为四边形ABCD的面积，用含有的关系式表示S，并求S的最大值．
上海市普陀区2023届高考一模数学试题
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求；
（2）由余弦定理得，，结合三角形面积公式即可求.
【详解】（1）由余弦定理得，，，故；
（2）由余弦定理得，，
，
则当时，S的最大值为
11.（2023春·安徽合肥·高三合肥市第七中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，点G是的重心，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解即可；
（2）由点G是的重心，求出边，然后由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：
，
所以.
所以，
因为，所以，所以，
即，又，所以，
所以，所以.
（2）因为点G是的重心，所以，
所以，
即，解得：或（舍）.
则.
12.（2023春·山东青岛·高三校联考）在中，．
(1)若为边中点，求长；
(2)若为角的角平分线，求长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角得到，结合为边中点得到，通过向量平方转化求解即可；
（2）根据等面积法直接代入计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以.
因为为边中点，所以，
则，
又因为，所以，
即长为
（2）因为为角的角平分线，所以，
所以，
所以，则
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，若，求的最大值．
北京市对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2023届高三上学期数学期末复习试题
【答案】(1)；(2)1.
【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得，结合即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，即可求解.
【详解】（1），由正弦定理，
得，
由，
得，又，
所以，有，即，
又，所以；
（2）由，得，
由余弦定理及，
得，
当且仅当时取到等号.
所以，故，
即的最大值为1.
14.（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，进而结合正弦定理得，，再结合求解即可；
（2）结合（1）得，进而根据面积关系得，最后结合基本不等式与余弦定理得，进而得答案.
(1)
解：是锐角三角形，.
在中，，由正弦定理得，
.，
(2)
解：由（1）知，.
由题意得.
由余弦定理得，，
当且仅当时“”成立.
所以的最小值为.
正余弦定理求角基础：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β (S(α＋β)) 正余余正
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β (S(α－β)) 正余余正 正角 减 余角
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β (C(α＋β)) 余余正正 偶函数。谁 减 谁 无所谓cs(α－β)=cs(β－α)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β (C(α－β))
对于sin（）与cs（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
SinC=Sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
csC=-cs(A+B)=-[csAcsB-sinAsinC]
分式型特征：
分式中分子分母是边的齐次式。
分式中分子分母是正弦的齐次式
如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算
可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化
分式型与正切型
1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理
3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角
解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
角非对边求面积
1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边”。把面积范围转化为“范围边”。
2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子。这样正好能转化。
3.对于“范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单。
4.对“消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件
周长最值
1.“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
变系数不一致型
1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”。
2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。
四边形面积最值型
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系
.中线的处理方法
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
中线分割的俩三角形面积相等
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：