（几何图形专项讲义）专题9++染色问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长-2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
【典例一】用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有 块。
A．6B．8C．10D．12
【分析】一面涂色的在每个面的中间，据此求出6个面上的块数解答即可。
【解答】解：
（块
答：一面涂色的小正方体有10块。
故选：。
【点评】本题的关键是明确三面涂色的小正方体在哪里，两面涂色的小正方体在哪里，一面涂色的小正方体在哪里，没有涂色的小正方体在哪里。
【典例二】把一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体表面涂色后，再沿着棱平均分成若干个棱长为1厘米的正方体，这些涂色正方体中两面涂色的有 个，一面涂色的有 个。
【分析】长方体的长、宽、高上分别切割成5个、4个、3个小正方体，根据立体图形的切拼知识可知：三个面均涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体都是两面涂色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色，没有涂色的小正方体在里面；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：（个，（个，（个
（个，（个，（个
两面涂色：（个
一面涂色：（个
答：这些涂色正方体中两面涂色的有24个，一面涂色的有22个。
故答案为：24；22。
【点评】此题考查了立方体图形的染色问题。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
【典例三】一个长方体木块，长、宽、高，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？
【分析】把一个涂色的长方体，切割成若干个小正方体，在8个顶点处的小正方体都是3面涂色，两面涂色的是除了顶点处的两个面相交的地方的小正方体，即长方体的棱长上的小正方体；六个面上每个面除了四周棱长上的小正方体都是一面涂色，由此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得，三面涂漆的小正方体在长方体的8个顶点处，故有8块三面涂漆；
（块，（块，（块
（块，（块，（块
所以两面涂漆的有：
（块
一面涂漆的有：
（块
六个面都没有红色的：（块
答：锯成的小正方体木块中，有8块三面有红色，24块两面有红色，22块一面有红色的，六个面都没有红色的有6块．
【点评】该题主要考查长方体方体切成若干个小正方体后面上涂色的规律．
一．选择题（共7小题）
1．丽丽拿了一个表面红色的棱长5厘米的正方体木块，把它切分成棱长1厘米的正方体小木块，其中有 个小方块只有一面涂色。
A．27B．36C．54
【分析】把一块棱长5厘米的正方体木块的外表涂上红色，然后沿棱切成棱长1厘米的小方块，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：（个，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；
（个
答：其中有54个小方块只有一面涂色。
故选：。
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
2．将一个正方体木块的6个面涂上红色，然后锯成64个大小相等的小正方体，一个面涂色的小正方体有 个。
A．8B．12C．24D．36
【分析】因为，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；
（个
答：一个面涂上红色的小正方体有24个。
故选：。
【点评】此题考查了立方体的染色知识；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
3．如图是由棱长为的正方体堆积而成的，表面涂色。四面涂色的小正方体有 个。
A．21B．6C．4D．2
【分析】四面涂色的小正方体从上到下每层分别有2个、0个、2个；据此解答即可。
【解答】解：（个
答：四面涂色的小正方体有4个。
故选：。
【点评】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
4．如果给的每个面涂上不同的颜色，需要几种不同的颜色？
A．6种B．3种C．4种
【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，所以需要6种不同的颜色。
【解答】解：这是一块正方体，要想把它的各面都涂上不同的颜色，需要6种不同颜色。
故选：。
【点评】此题关键是掌握正方体的特征。
5．在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有 种不同的涂法．
A．2B．3C．4
【分析】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【解答】解：画图如下：
答：在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有4种不同的涂法．
故选：。
【点评】此题主要考查了学生对轴对称意义的灵活运用，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案．
6．如图，用棱长是的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有 块。
A．8B．27C．36D．54
【分析】大正方体每条棱上面有5块小正方体，三面涂色的正方体在8个顶点上；两面涂色的正方体是在12条棱上，即公式：；一面涂色的正方体是在6个面上，即公式：。据此解答。
【解答】解：一面涂色的正方体是在6个面上，（块
答：只有一面涂色的小正方体有54块。
故选：。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
7．如图，一个中间有方孔的模型，将它的露在外面的面涂上黄色，然后沿线切开，正好可以切成16个小正方体。下面描述正确的是
A．切开后两面涂色的正方体有8个。
B．切开后三面涂色的正方体有8个。
C．切开后三面涂色的正方体有12个。
D．切开后三面涂色的正方体有16 个。
【分析】依据题意结合图示可知，正方体的表面与内部都是黄色，所以切成的小正方体都是三面涂色，由此解答本题。
【解答】解：由分析可知，三面涂色的正方体有16个。
故选：。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
二．填空题（共7小题）
8．把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 36 个，三面涂色的有 个。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：（个
两面涂色：
（个
三面涂色：顶点处的小正方体三面涂色，共8个。
答：其中两面涂色的小正方体有36个，三面涂色的有8个。
故答案为：36；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除顶点外），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
9．把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有 8 个，两面涂色的小正方体有 个。
【分析】棱长为5厘米的正方体，每条大正方体棱长可以切5个小正方体的棱长，则小正方体的数量为个，大正方体顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体有8个。
（个
（个
两面涂色的小正方体有36个。
答：其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有36个。
故答案为：8；36。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
10．把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有 8 个，两个面是红色的小正方体有 个，一个面是红色的小正方体有 个。
【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部。
【解答】解：（1）三面涂色的在每个顶点处，共有8个；
（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有（个；
（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体），有（个；
故答案为：8，12，6。
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部。
11．如图，将一个长、宽、高的长方体6个面涂上红色，然后把这个长方体切割成棱长为的小正方体，可以分成 36 个小正方体，其中，一面涂色的有 个，两面涂色的有 个，没有涂色的有 个。
【分析】分析题意，易知三面涂色的小正方体都在顶点处，有8个；两面涂色的小正方体都在棱上；一面涂色的小正方体在每个面的中间；没有涂色的在正中间找；据此求解即可。
【解答】解：（个
（个
（个
（个
一面涂色：
（个
两面涂色：
（个
没有涂色：
（个
答：可以分成36个小正方体，其中，一面涂色的有10个，两面涂色的有16个，没有涂色的有2个。
故答案为：36、10、16、2。
【点评】本题主要考查了染色问题，解题的关键是明确3面涂色的在顶点处，只有1面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体），没有涂色的在内部。
12．用27个同样的小正方体拼成一个大正方体，从四个顶点处各拿走一个小正方体后，剩下23个，把剩下部分的表面涂上颜色，如图。剩下的小正方体中，两面涂色的小正方体有 4 个。
【分析】因为底面不涂色，所以剩下正方体两面涂色的是最下面一层位于四个顶点处的那四个小正方体。
【解答】解：27个同样的小正方体拼成一个大正方体，从四个顶点处各拿走一个小正方体后，剩下23个，把剩下部分的表面涂上颜色，如图。剩下的小正方体中，两面涂色的小正方体有4个。
故答案为：4。
【点评】本题考查涂色问题，解答本题的关键是掌握两面涂色的正方体在顶点处。
13．明明把一个表面涂满绿色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体：
（1）三个面涂有绿色的小正方体有 8 个。
（2）两个面涂有绿色的小正方体有 个。
（3）一个面涂有绿色的小正方体有 个。
（4）六个面都没有涂绿色的小正方体有 个。
【分析】三个面涂色的小正方体与大正方体的顶点有关。
两个面涂色的小正方体与12条棱有关。
一个面涂色与6个表面积有关。
没有涂色的与体积有关。
【解答】解：（1）原正方体有8个顶点，所以三个面涂有色的小正方体有8个。
（2）（个
答：两个面涂有绿色的小正方体有12个。
（3）（个
答：一个面涂有绿色的小正方体有6个。
（4）六个面都没有涂绿色的小正方体有1个。
故答案为：（1）8；（2）12；（3）6；（4）1。
【点评】明确涂色小正方体与原正方体各部分间的关系是解决本题的关键。
14．如图是一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体。将这个长方体的表面涂满红色，再将它切成棱长是2厘米的小正方体，可以切 120 个，其中一个面都没涂色的小正方体有 个。
【分析】根据长方体切割正方体的特点可得：（个，（个，（个，所以可以求得小正方体的个数；其中一面都没涂色的正方体在里面；据此解答即可。
【解答】解：（个，（个，（个
（个
（个
答：可以切120个，其中一个面都没涂色的小正方体有24个。
故答案为：120；24。
【点评】此题抓住长方体切割成小正方体的特点，找出规律即可进行计算。
三．解答题（共6小题）
15．将长、宽、高的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
【分析】根据分析可知，根据长方体的体积长宽高，用即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均涂色的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面涂色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆；最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：小正方体的总个数：
（个
有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，
两面涂色的有：
（个
一面涂色的有：
（个
没有涂色的有：（个
答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。
16．如图是一个棱长5分米的正方体，现将它的前、后、左、右和上面涂上颜色，然后切割成若干个棱长1分米的小正方体。
（1）切得棱长1分米的小正方体共有多少块？
（2）请你算一算，切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有多少块？
【分析】（1）这个正方体的棱长5分米，切割成棱长1分米的小正方体，能切割成块。
（2）上面处于非边缘的小正方体一面涂色，处于四个侧面非上、下、左、右边缘的小正方体一面涂色。
【解答】解：（1）
（块
答：切得棱长1分米的小正方体共有125块。
（2）
（块
答：切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有57块。
【点评】此题主要考查了涂色问题。弄清一面涂色、两面涂色、三面涂色、没有涂色小正方体所处的位置是关键。
17．如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
【分析】通过观察看出，塔形的每一上层都盖住了它的下层的一部分，可以这样想，把塔从顶端层层压进去，最后会成为一个最低层的形状的长方体，塔的上面涂色部分就是形成的这个长方体的上面面积，再加上塔层周围面积，就是总的涂色面积。
【解答】解：
答：涂色面积总和是。
【点评】本题考查了学生的观察能力，及转化思想。
18．用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的所有对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并且大正方体每条边上有偶数个小正方体，当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的，一共用了多少个黑色正方体？
【分析】黑色小正方体的体积占总体积的，那么大正方体的每个面上都有4个黑色正方体，由此可以求得大正方体每个面上的小正方体共有：（个，则每条边上有10个小正方体；令小正方体的体积为1，则大正方体的体积就是，那么黑色小正方体就是：（个，据此解答即可。
【解答】解：根据题干可得：
黑色的正方体占：
每个面上有：（个，所以每条棱长上就是10个。
令小正方体的体积为1，
则大正方体的体积就是，
那么黑色小正方体就是：（个
答：一共用了40个黑色的小正方体。
【点评】抓住黑色正方体的排列规律，得出大正方体的棱长，利用大正方体的体积与黑色小正方体的体积的百分比，即可解决问题。
19．把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成一个棱长是1分米的正方体，把这个大正方体的表面涂上黄漆，小正方体中，有一面涂了黄漆的有多少个？
【分析】因为，所以每个棱上有10个小正方体，其中一面黄的处在大正方体每个面的中间，所以求出一个面上的个数，然后乘6，就是6个面上的总个数，据此解答．
【解答】解：因为，所以每个棱上有10个小正方体，
有一面涂了黄漆的有：
，
，
（个；
答：有一面涂了黄漆的有384个．
【点评】本题关键是理解：一面黄的处在大正方体每个面的中间，两面黄的处在大正方体每条棱的中间，三面黄的处在大正方体顶点上，各个面都不着色的处在大正方体的中心．
20．一个长方体的长宽高分别为4分米、5分米、6分米，把它的表面涂满红漆，然后切成棱长为1分米的小正方体若干块．这些小正方体中，三面有红色的有多少块？两面有红色的有多少块？一面有红色的有多少块？没有红色的有多少块？
【分析】长方体的长、宽、高上分别切割成4个、5个、6个小正方体，由此根据顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，即可解答问题．
【解答】解：顶点处的小正方体三面涂色共8个，
；；；
所以只有两面涂色的有：，
，
（个，
只有一面涂色的有：，
，
（个，
所以只有一面涂色的有：，
，
（个，
各面都没有涂色：（个；
答：这些小正方体中，三面有红色的有8块，两面有红色的有36块，一面有红色的有188块，没有红色的有24块．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．